Edit to “Условие”
ru/5.2.3.md
+1 −1
| ### Условие: | |||
| $5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла: | |||
| $$ | |||
| \begin{aligned} | |||
| dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x, | |||
| \end{aligned} | |||
| $$ | |||
| где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция | |||
| $$ | |||
| f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right) | |||
| $$ | |||
| называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите: | |||
| @@ -18,7 +18,7 @@Условие: | |||
| а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$ | |||
| б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$. | |||
| − |  | ||
| ### Решение: | |||
| Для случая а: | |||
| $$ | |||
| N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3} | |||
| $$ | |||
| Для случая б: | |||
| $$ | |||
| N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x' | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3} | |||
| $$ | |||
| ### Ответ: | |||
| $$ | |||
| \begin{aligned} | |||
| \mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}. | |||
| \end{aligned} | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 35 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла: | $5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла: | ||
| $$ | $$ | ||
| \begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
| dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x, | dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x, | ||
| \end{aligned} | \end{aligned} | ||
| $$ | $$ | ||
| где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция | где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция | ||
| $$ | $$ | ||
| f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right) | f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите: | называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите: | ||
| @@ -18,7 +18,7 @@Условие: | |||
| а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$ | а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$ | ||
| б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$. | б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$. | ||
|  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Для случая а: | Для случая а: | ||
| $$ | $$ | ||
| N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x | N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} | N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3} | N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Для случая б: | Для случая б: | ||
| $$ | $$ | ||
| N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x' | N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x' | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} | N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3} | N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3} | ||
| $$ | $$ | ||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| \begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
| \mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}. | \mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}. | ||
| \end{aligned} | \end{aligned} | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 35 | |||