| @@ -1,15 +1,49 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.3.18^*.$ Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высоты $h$. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой $T$. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки $2l$, масса мальчика с санками $m$. Трением пренебречь. |
| $2.3.18^*.$ Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высоты $h$. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой $T$. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки $2l$, масса мальчика с санками $m$. Трением пренебречь. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| На санки действует единственная внешняя сила $2\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту $F_x=2T\cos\alpha$ Из рисунка: $\cos\alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}$ Тогда $F_x=T\frac{2x}{\sqrt{x^2+h^2}}$ Работа внешней силы равна: $A=\int_{0}^{x_0}F_xdx$ $A=2T\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx\quad(a)$ $\int\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x^2+h^2}+C$ $\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x_0^2+h^2}-h$ По условию: $L=\sqrt{x^2+h^2}$ Тогда $(a)$ можно переписать: $A=2T(L-h)$ Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок: $A=E_{кин}$ $2T(L-h)=\frac{mv^2}{2}$ Отсюда: $v=\sqrt{\frac{4T(L-h)}{m}}$ |
| На санки действует единственная внешняя сила $2\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту |
| |
| |
| ### Ответ: $v=2\sqrt{\frac{T(L-h)}{m}}$ |
| $$F_x=2T\cos\alpha\quad(1)$$ |
| |
| |
| ### |
| Из рисунка: |
| |
| |
| |
| $$\cos\alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\quad(2)$$ |
| |
| |
| |
| Тогда |
| |
| |
| |
| $$F_x=T\frac{2x}{\sqrt{x^2+h^2}}\quad(3)$$ |
| |
| |
| |
| Работа внешней силы равна: |
| |
| |
| |
| $$A=\int_{0}^{x_0}F_xdx\quad(4)$$ |
| |
| |
| |
| $$A=2T\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx\quad(5)$$ |
| |
| |
| |
| $$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x^2+h^2}+C\quad(6)$$ |
| |
| |
| |
| $$\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x_0^2+h^2}-h\quad(7)$$ |
| |
| |
| |
| По условию: |
| |
| |
| |
| $$L=\sqrt{x^2+h^2}\quad(8)$$ |
| |
| |
| |
| Тогда $(5)$ можно переписать: |
| |
| |
| |
| $$A=2T(L-h)\quad(9)$$ |
| |
| |
| |
| Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок $(A=E_{кин})$: |
| |
| |
| |
| $$2T(L-h)=\frac{mv^2}{2}\quad(10)$$ |
| |
| |
| |
| Отсюда: |
| |
| |
| |
| $$v=\sqrt{\frac{4T(L-h)}{m}}\quad(11)$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $v=2\sqrt{\frac{T(L-h)}{m}}$ |
