Edit to “Условие”
ru/2.1.60.md
+2 −1
| @@ -1,6 +1,7 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| − | $2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо | ||
| + | $2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$, а радис равен$R$ | ||
| + | |||
| ### Решение: | |||
| Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$ | |||
|  | |||
| На кусочек жгута действуют силы натяжения $$T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)$$ При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах $$T_{н} = 2T\alpha$$ В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу $$dm = m \frac{\alpha}{\pi}$$ При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение $$a = \omega^2 R$$ Второй закон Ньютона запишем как $$dma = T_{н}$$ $$m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha$$ Откуда находим $R$ $$\boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}}$$ Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся. | |||
| ### Ответ: | |||
| $R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$ | |||
| при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
|  | |||
| unchanged lines 15 | |||
| @@ -1,6 +1,7 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо |
$2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$, а радис равен$R$ | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$ | Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$ | ||
|  |  | ||
| На кусочек жгута действуют силы натяжения $$T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)$$ При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах $$T_{н} = 2T\alpha$$ В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу $$dm = m \frac{\alpha}{\pi}$$ При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение $$a = \omega^2 R$$ Второй закон Ньютона запишем как $$dma = T_{н}$$ $$m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha$$ Откуда находим $R$ $$\boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}}$$ Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся. | На кусочек жгута действуют силы натяжения $$T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)$$ При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах $$T_{н} = 2T\alpha$$ В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу $$dm = m \frac{\alpha}{\pi}$$ При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение $$a = \omega^2 R$$ Второй закон Ньютона запишем как $$dma = T_{н}$$ $$m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha$$ Откуда находим $R$ $$\boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}}$$ Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся. | ||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$ | $R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$ | ||
| при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается | при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
|  |  | ||
| unchanged lines 15 | |||