$2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо радиуса $R_0$. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $ω$
+
$2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо радиуса $R_0$. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$
</p>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="280" />
<figcaption>
Силы, действующие на меленький кусочек жгута
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
На кусочек жгута действуют силы натяжения
$$T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)$$
При учитывая $\sin\alpha\approx\alpha$ при малых углах
$$T_{н} = 2T\alpha$$
В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу
$$dm = m \frac{\alpha}{\pi}$$
При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение
$$a = \omega ^2 R$$
Второй закон Ньютона запишем как
@@ -78,18 +78,18 @@
$$dma = T_{н}$$
$$m \frac{1}{\pi}\omega ^2 R = 4k (R-R_0)\alpha$$
Откуда находим $R$
−
$$\boxed{R = \frac{R_0}{1 − m ω^2 /4 π^2 k}}$$
+
$$\boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}}$$
Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся.
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
−
$R = R_0/(1 − m ω^2 /4 π^2 k)$ при $ω < 2π\sqrt{k/m};$
+
$R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$
</p>
<p>
−
при $ω \geq 2π\sqrt{k/m}$ кольцо неограниченно растягивается
+
при $\omega\geq 2\pi\sqrt{k/m}$ кольцо неограниченно растягивается
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
$2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо радиуса $R_0$. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $ω$
$2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо радиуса $R_0$. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$
</p>
</p>
<h3> Решение: </h3>
<h3> Решение: </h3>
<p>
<p>
Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$
Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$
</p>
</p>
<center>
<center>
<figure>
<figure>
<img src="draw.png"
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="280" />
loading="lazy" width="280" />
<figcaption>
<figcaption>
Силы, действующие на меленький кусочек жгута
Силы, действующие на меленький кусочек жгута
</figcaption>
</figcaption>
</figure>
</figure>
</center>
</center>
<p>
<p>
На кусочек жгута действуют силы натяжения
На кусочек жгута действуют силы натяжения
$$T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)$$
$$T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)$$
При учитывая $\sin\alpha\approx\alpha$ при малых углах
При учитывая $\sin\alpha\approx\alpha$ при малых углах
$$T_{н} = 2T\alpha$$
$$T_{н} = 2T\alpha$$
В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу
В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу
$$dm = m \frac{\alpha}{\pi}$$
$$dm = m \frac{\alpha}{\pi}$$
При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение
При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение
$$a = \omega ^2 R$$
$$a = \omega ^2 R$$
Второй закон Ньютона запишем как
Второй закон Ньютона запишем как
@@ -78,18 +78,18 @@
$$dma = T_{н}$$
$$dma = T_{н}$$
$$m \frac{1}{\pi}\omega ^2 R = 4k (R-R_0)\alpha$$
$$m \frac{1}{\pi}\omega ^2 R = 4k (R-R_0)\alpha$$
Откуда находим $R$
Откуда находим $R$
$$\boxed{R = \frac{R_0}{1 − m ω^2 /4 π^2 k}}$$
$$\boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}}$$
Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся.
Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся.
</p>
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
<p>
$R = R_0/(1 − m ω^2 /4 π^2 k)$ при $ω < 2π\sqrt{k/m};$
$R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$
</p>
</p>
<p>
<p>
при $ω \geq 2π\sqrt{k/m}$ кольцо неограниченно растягивается
при $\omega\geq 2\pi\sqrt{k/m}$ кольцо неограниченно растягивается
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
