Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Valter edited
View solution History
revision #22212 parent #12802 ← older
ru/2.1.60.md +173 −19
@@ -1,61 +1,215 @@
### Условие:
−$2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$, а радиус равен$R$
+$2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо радиуса $R_0$. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$.
### Решение:
−Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$
+После раскручивания жгут остаётся окружностью. Пусть его новый радиус равен $R$.
+Первоначальная длина жгута была
+
+$$
+L_0=2\pi R_0,
+$$
+
+а после растяжения стала
+
+$$
+L=2\pi R.
+$$
+
+Следовательно, полное удлинение жгута равно
+
+$$
+\Delta L=2\pi(R-R_0).
+$$
+
+Так как $k$ — жёсткость всего жгута, по закону Гука сила натяжения в кольце равна
+
+$$
+T=k\Delta L.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{T=2\pi k(R-R_0)}.
+$$
+
+Теперь рассмотрим малый участок кольца, изображённый на рисунке.
+
![ Силы, действующие на меленький кусочек жгута |737x691, 47%](../../img/2.1.60/draw.png)
−На кусочек жгута действуют силы натяжения
+Пусть радиусы, проведённые к концам этого участка, образуют с радиусом, проходящим через его середину, углы $\alpha$. Тогда центральный угол, соответствующий участку, равен $2\alpha$.
+При малом $\alpha$ длина участка равна
+
$$
−T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)
+dl=2\alpha R.
$$
−При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах
+Так как масса $m$ равномерно распределена по всей окружности длины $2\pi R$, масса выбранного участка составляет
$$
−T_{н} = 2T\alpha
+dm=m\frac{dl}{2\pi R}.
$$
−В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу
+Подставляя $dl=2\alpha R$, получаем
$$
−dm = m \frac{\alpha}{\pi}
+dm=m\frac{2\alpha R}{2\pi R}.
$$
−При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение
+Следовательно,
$$
−a = \omega^2 R
+\boxed{dm=\frac{m\alpha}{\pi}}.
$$
−Второй закон Ньютона запишем как
+На концы участка действуют две одинаковые силы натяжения
$$
−dma = T_{н}
+T_1=T_2=T.
$$
+Как видно из рисунка, их составляющие, направленные вдоль горизонтального направления, взаимно компенсируются, а радиальные составляющие складываются.
+
+Результирующая сила направлена к центру кольца и равна
+
$$
−m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha
+T_{\text{н}}=2T\sin\alpha.
$$
−Откуда находим $R$
+Поскольку рассматриваемый участок очень мал,
$$
−\boxed{R = \frac{R_0}{1 - m \omega^2 /4 \pi^2 k}}
+\alpha\ll1,
$$
−Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся.
+поэтому
−#### Ответ:
+$$
+\sin\alpha\simeq\alpha.
+$$
−$R = R_0/(1 - m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$
+Следовательно,
−при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается
+$$
+\boxed{T_{\text{н}}\simeq2T\alpha}.
+$$
+
+При вращении с угловой скоростью $\omega$ каждый элемент кольца движется по окружности радиуса $R$ и имеет центростремительное ускорение
+
+$$
+a=\omega^2R.
+$$
+
+По второму закону Ньютона для выбранного участка
+
+$$
+dm\,\omega^2R=T_{\text{н}}.
+$$
+
+Подставляем найденные выражения:
+
+$$
+\frac{m\alpha}{\pi}\omega^2R=2T\alpha.
+$$
+
+Сокращая $\alpha$, получаем
+
+$$
+\frac{m\omega^2R}{\pi}=2T.
+$$
+
+Отсюда сила натяжения, необходимая для вращения кольца, равна
+
+$$
+\boxed{T=\frac{m\omega^2R}{2\pi}}.
+$$
+
+С другой стороны, из закона Гука уже было получено
+
+$$
+T=2\pi k(R-R_0).
+$$
+
+Приравниваем два выражения для одной и той же силы натяжения:
+
+$$
+2\pi k(R-R_0)=\frac{m\omega^2R}{2\pi}.
+$$
+
+Умножим обе части на $2\pi$:
+
+$$
+4\pi^2k(R-R_0)=m\omega^2R.
+$$
+
+Раскрываем скобки:
+
+$$
+4\pi^2kR-4\pi^2kR_0=m\omega^2R.
+$$
+
+Переносим члены, содержащие $R$, в левую часть:
+
+$$
+R(4\pi^2k-m\omega^2)=4\pi^2kR_0.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+R=\frac{4\pi^2kR_0}{4\pi^2k-m\omega^2}.
+$$
+
+И окончательно
+
+$$
+\boxed{R=\frac{R_0}{1-\dfrac{m\omega^2}{4\pi^2k}}}.
+$$
+
+Конечное положительное значение радиуса существует только тогда, когда знаменатель положителен:
+
+$$
+1-\frac{m\omega^2}{4\pi^2k}>0.
+$$
+
+Отсюда
+
+$$
+\boxed{\omega<2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}}.
+$$
+
+При
+
+$$
+\omega\to2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}
+$$
+
+в рамках линейного закона Гука получаем
+
+$$
+R\to\infty.
+$$
+
+Это означает не физическое бесконечное растяжение реального резинового жгута, а исчезновение конечного равновесного решения в данной модели. В реальности при больших деформациях закон Гука перестаёт выполняться, и жгут может разорваться.
+
+#### Ответ
+
+$$
+\boxed{R=\frac{R_0}{1-\dfrac{m\omega^2}{4\pi^2k}}}
+$$
+
+при
+
+$$
+\boxed{\omega<2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}}.
+$$
+
+При $\omega\geq2\pi\sqrt{k/m}$ конечного равновесного радиуса в рамках линейной модели не существует.
### Альтернативное решение:
![](https://www.youtube.com/embed/a1x-LW89qfE)