| @@ -1,15 +1,36 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.3.20.$ Горизонтальные поверхности, отстоящие друг от друга по высоте на $h$, плавно соединяются. По верхней поверхности движется тело со скоростью $v$, составляющей угол $\alpha$ с нормалью к линии сопряжения. Найдите угол между скоростью тела на нижней поверхности плоскости и нормалью к линии сопряжения. Трением пренебречь. |
| $2.3.20.$ Горизонтальные поверхности, отстоящие друг от друга по высоте на $h$, плавно соединяются. По верхней поверхности движется тело со скоростью $v$, составляющей угол $\alpha$ с нормалью к линии сопряжения. Найдите угол между скоростью тела на нижней поверхности плоскости и нормалью к линии сопряжения. Трением пренебречь. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| Из-за отсутствия внешних сил по нормали, нормальная компонента скорости будет оставаться неизменной: $v_a \cdot\sin\alpha =v_b \cdot\sin\beta$ $v_b =v_a \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\quad(a)$ Между тем, на тело действует сила тяжести, направленная параллельно отрезку $AB$. Запишем работу этой силы: $mgh= \frac{m \, v^2_b }{2}-\frac{m \, v^2_a }{2}$ $v^2_b= v^2_a + 2gh$ Подставляем $(a)$: $v^2_a \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \beta}= v^2_a + 2gh$ $\sin\beta = \sin\alpha\frac{v_a}{\sqrt{v^2_a+2gh}}$ |
| Из-за отсутствия внешних сил по нормали, нормальная компонента скорости будет оставаться неизменной: |
| |
| |
| ### Ответ: $\sin\beta = \sin\alpha\frac{v_a}{\sqrt{v^2_a+2gh}}$ |
| $$v_a \cdot\sin\alpha =v_b \cdot\sin\beta$$ |
| |
| |
| ### |
| Откуда, скорость тела на нижней поверхности: |
| |
| |
| |
| $$v_b =v_a \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\quad(1)$$ |
| |
| |
| |
| Между тем, на тело действует сила тяжести, направленная параллельно отрезку $AB$. Запишем работу этой силы: |
| |
| |
| |
| $$mgh= \frac{m \cdot v^2_b }{2}-\frac{m \cdot v^2_a }{2}$$ |
| |
| |
| |
| Упрощаем: |
| |
| |
| |
| $$v^2_b= v^2_a + 2gh\quad(2)$$ |
| |
| |
| |
| Приравниваем $(1)$ и $(2)$ |
| |
| |
| |
| $$v^2_a \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \beta}= v^2_a + 2gh$$ |
| |
| |
| |
| Решаем относительно $\sin\beta$: |
| |
| |
| |
| $$\sin\beta = \sin\alpha\frac{v_a}{\sqrt{v^2_a+2gh}}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $\sin\beta = \sin\alpha\frac{v_a}{\sqrt{v^2_a+2gh}}$ |
| |
| |
