Edit to “Условие”
ru/2.3.28.md
+1 −1
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| $2.3.28^*.$ По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $m$. Радиус петли спирали равен $R$, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $h$. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $H$? Начальная скорость бусинки равна нулю. | |||
| − |  | ||
| ### Решение: | |||
| Угол касательной к винтовой линии с горизонтом равен $\alpha$, причем | |||
| $$ | |||
| \sin\alpha = \frac{h_{0}}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}} | |||
| $$ | |||
| Когда бусинка спустилась на $H$, она приобрела кинетическую энергию $E_{кин} = mgH$ и скорость $v=\sqrt{2gH}$ (т.к. начальная скорость равна нулю). | |||
| Сила, с которой бусинка действует на спираль: | |||
| $$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}$$ | |||
| где | |||
| $$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}$$ | |||
| $$F_{нopм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}}$$ | |||
| $$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}$$ | |||
| #### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$ | |||
| unchanged lines 21 | |||
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.3.28^*.$ По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $m$. Радиус петли спирали равен $R$, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $h$. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $H$? Начальная скорость бусинки равна нулю. | $2.3.28^*.$ По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $m$. Радиус петли спирали равен $R$, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $h$. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $H$? Начальная скорость бусинки равна нулю. | ||
|  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Угол касательной к винтовой линии с горизонтом равен $\alpha$, причем | Угол касательной к винтовой линии с горизонтом равен $\alpha$, причем | ||
| $$ | $$ | ||
| \sin\alpha = \frac{h_{0}}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}} | \sin\alpha = \frac{h_{0}}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Когда бусинка спустилась на $H$, она приобрела кинетическую энергию $E_{кин} = mgH$ и скорость $v=\sqrt{2gH}$ (т.к. начальная скорость равна нулю). | Когда бусинка спустилась на $H$, она приобрела кинетическую энергию $E_{кин} = mgH$ и скорость $v=\sqrt{2gH}$ (т.к. начальная скорость равна нулю). | ||
| Сила, с которой бусинка действует на спираль: | Сила, с которой бусинка действует на спираль: | ||
| $$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}$$ | $$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}$$ | ||
| где | где | ||
| $$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}$$ | $$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}$$ | ||
| $$F_{нopм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}}$$ | $$F_{нopм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}}$$ | ||
| $$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}$$ | $$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}$$ | ||
| #### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$ | #### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$ | ||
| unchanged lines 21 | |||