| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.3.28^*.$ По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $m$. Радиус петли спирали равен $R$, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $h$. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $H$? Начальная скорость бусинки равна нулю. |
| $2.3.28^*.$ По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $m$. Радиус петли спирали равен $R$, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $h$. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $H$? Начальная скорость бусинки равна нулю. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| Угол наклона $\alpha$ винтовой линии к горизонтали задается через тригонометрию: | | Угол наклона $\alpha$ винтовой линии к горизонтали задается через тригонометрию: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sin\alpha = \frac{h_{0}}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(1) | | \sin\alpha = \frac{h_{0}}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(1) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Потенциальная энергия, потерянная бусинкой при спуске на высоту $H$, переходит в кинетическую энергию: | | Потенциальная энергия, потерянная бусинкой при спуске на высоту $H$, переходит в кинетическую энергию: |
| | | |
| $$E_{кин} = mgH\quad(2)$$ | | $$E_{кин} = mgH\quad(2)$$ |
| | | |
| Учитывая, что начальная скорость равна нулю, находим скорость $v$ бусинки: | | Учитывая, что начальная скорость равна нулю, находим скорость $v$ бусинки: |
| | | |
| $$v=\sqrt{2gH}\quad(3)$$ | | $$v=\sqrt{2gH}\quad(3)$$ |
| | | |
| Полная сила $F$, с которой бусинка действует на спираль, находится как сумма проекций центростремительной и нормальной сил: | | Полная сила $F$, с которой бусинка действует на спираль, находится как сумма проекций центростремительной и нормальной сил: |
| | | |
| $$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}\quad(4)$$ | | $$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}\quad(4)$$ |
| | | |
| Центростремительная сила $F_{центр}$ возникает из-за движения бусинки по окружности радиуса $R$ в горизонтальной плоскости. Учитывая горизонтальную проекцию скорости $(v_{гор} = v\cos\alpha)$, находим центростремительную силу | | Центростремительная сила $F_{центр}$ возникает из-за движения бусинки по окружности радиуса $R$ в горизонтальной плоскости. Учитывая горизонтальную проекцию скорости $(v_{гор} = v\cos\alpha)$, находим центростремительную силу |
| | | |
| $$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}\quad(5)$$ | | $$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}\quad(5)$$ |
| | | |
| Нормальную силу найдём как проекцию силы тяжести на перпендикуляр к поверхности спирали: | | Нормальную силу найдём как проекцию силы тяжести на перпендикуляр к поверхности спирали: |
| | | |
| $$F_{норм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(6)$$ | | $$F_{норм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(6)$$ |
| | | |
| Подставляем уравнения центростремительной и нормальной сил из $(5)$ и $(6)$, соответственно, в уравнение $(4)$ для силы, с которой бусинка действует на спираль | | Подставляем уравнения центростремительной и нормальной сил из $(5)$ и $(6)$, соответственно, в уравнение $(4)$ для силы, с которой бусинка действует на спираль |
| | | |
| $$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}\quad(7)$$ | | $$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}\quad(7)$$ |
| | | |
| #### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$ | | #### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$ |
