| @@ -1,11 +1,43 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $11.1.25^*.$ Проводящий диск вращается с угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле индукции $B$, перпендикулярном плоскости диска. Что покажет амперметр, включенный через сопротивление $R$? Найдите ток, если $R = 1 \,Ом$, радиус диска $r = 0.05 \,м$, $\omega = 2\pi\cdot 50 \,рад/с$, $B = 1 \,Тл$. |
| $11.1.25^*.$ Проводящий диск вращается с угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле индукции $B$, перпендикулярном плоскости диска. Что покажет амперметр, включенный через сопротивление $R$? Найдите ток, если $R = 1 \,Ом$, радиус диска $r = 0.05 \,м$, $\omega = 2\pi\cdot 50 \,рад/с$, $B = 1 \,Тл$. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| Вычислим ЭДС индукции между центром диска $О$ и скользящим контактом $А$, воспользовавшись определением ЭДС: ${E}_{i} = \frac{A_{ст}}{q}$ где $A_{ст}$ — работа сторонних сил (в данном случае это сила Лоренца) при перемещении положительного заряда из точки $А$ в точку $О$ Обозначим через $x$ — расстояние от заряда до центра $О$. Сила Лоренца, действующая на заряд: $F_{л} = qvB = q \omega xB ( \alpha = 90^{ \circ})$ Работа силы Лоренца: $A_{ст} = \int_{0}^{r} F_{л} dx $$= \int_{r}^{0} q \omega xB dx $$= q \omega B \int_{0}^{r} xdx $$= \frac{1}{2} q \omega r^{2} B$ может быть вычислена так же элементарно с помощью разбиения отрезка $АО$ на малые участки $\Delta x_{i} = x_{i+1} - x_{i}$ вычисления работы на каждом участке $A_{i} = q \omega B \frac{x_{i+1} + x_{i}}{2} (x_{i+1} - x_{i})$ и суммирования: $A_{} = \sum A_{i} $$= \sum q \omega B \frac{x_{i+1}^{2} - x_{i}^{2}}{2} = \frac{1}{2} q \omega B r^{2}$ Получаем, подставляя: $\varepsilon_{i}= \frac{1}{2} \omega Br^{2}$ Согласно закону Ома для полной цепи: $I = \frac{ \varepsilon_{i}}{R} = \frac{ \omega Br^{2}}{2R}$ |
| Вычислим ЭДС индукции между центром диска $O$ и скользящим контактом $A$, воспользовавшись определением ЭДС: $${E}_{i} = \frac{A_{ст}}{q}$$ |
| |
| |
| ### Ответ: $I = \omega Br^2/(2R) = 0.4 \,А$ |
| где $A_{ст}$ — работа сторонних сил (в данном случае это сила Лоренца) при перемещении положительного заряда из точки $A$ в точку $O$ |
| |
| |
| |
| Обозначим через $x$ — расстояние от заряда до центра $O$. Сила Лоренца, действующая на заряд: |
| |
| |
| |
| $$F_{л} = qvB = q \omega xB ( \alpha = 90^{ \circ})$$ |
| |
| |
| |
| Работа силы Лоренца: |
| |
| |
| |
| $$A_{ст} = \int_{0}^{r} F_{л} dx = \int_{r}^{0} q \omega xB dx $$ |
| |
| |
| |
| $$A = q \omega B \int_{0}^{r} xdx = \frac{1}{2} q \omega r^{2} B$$ |
| |
| |
| |
| может быть вычислена так же элементарно с помощью разбиения отрезка $AO$ на малые участки |
| |
| |
| |
| $$\Delta x_{i} = x_{i+1} - x_{i}$$ |
| |
| |
| |
| вычисления работы на каждом участке |
| |
| |
| |
| $$A_{i} = q \omega B \frac{x_{i+1} + x_{i}}{2} (x_{i+1} - x_{i})$$ |
| |
| |
| |
| и суммирования: |
| |
| |
| |
| $$A_{} = \sum A_{i} = \sum q \omega B \frac{x_{i+1}^{2} - x_{i}^{2}}{2} = \frac{1}{2} q \omega B r^{2}$$ |
| |
| |
| |
| Получаем, подставляя: |
| |
| |
| |
| $$\varepsilon_{i}= \frac{1}{2} \omega Br^{2}$$ |
| |
| |
| |
| Согласно закону Ома для полной цепи: |
| |
| |
| |
| $$I = \frac{ \varepsilon_{i}}{R} = \frac{ \omega Br^{2}}{2R}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $I = \omega Br^2/(2R) = 0.4 \,А$ |
