Edit to “Решение”

astrosander edited Dec 20, 2024, 2:40 AM

View solution History

revision #12346 parent #12345 ← older newer →

ru/2.5.3.md +1 −1

			### Условие:

			$2.5.3.$ На неподвижный шар налетает со скоростью $u$ шар, масса которого в $k$ раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости $u$. Постройте графики зависимости этих отношений от числа $k$.

			### Решение:

			Запишем закон сохранения импульса:

			$$km\vec{u} = km\vec{v}_2 + m\vec{v}_1$$

			В проекции на ось $Ox$:

			$$kmu = kmu_2 + mv_1,$$

			Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение:

			$$ku = kv_2 + v_1.\tag{1}$$

			Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии:

			$$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$

			Аналогично, разделим на $m/2$:

			$$ku^2 = kv_2^2 + v_1^2. \tag{2}$$

			Из уравнения $(1)$ выразим $v_1$ через $v_2$

			$$v_1 = k(u – v_2)$$

			Алалогично, из уравнения $(1)$ выразим $v_1^2$

			$$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$

			Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим

			$$u + v_2 = v_1.\tag{3}$$

			Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$

			$$ku = kv_2 + u + v_2,$$

			откуда

			$$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\tag{4}$$

			Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то

			$$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \tag{5}$$

			Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$
		@@ -52,7 +52,7 @@Решение:

			$$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$

		−	$$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. ~~\quad (*)~~$$
		+	$$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. \tag{*}$$

			Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке.

			![\|800x800, 50%](../../img/2.5.3/01.png)

			![\|800x800, 50%](../../img/2.5.3/02.png)

			### Ответ: $\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$
		unchanged lines 5

	### Условие:		### Условие:

	$2.5.3.$ На неподвижный шар налетает со скоростью $u$ шар, масса которого в $k$ раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости $u$. Постройте графики зависимости этих отношений от числа $k$.		$2.5.3.$ На неподвижный шар налетает со скоростью $u$ шар, масса которого в $k$ раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости $u$. Постройте графики зависимости этих отношений от числа $k$.

	### Решение:		### Решение:

	Запишем закон сохранения импульса:		Запишем закон сохранения импульса:

	$$km\vec{u} = km\vec{v}_2 + m\vec{v}_1$$		$$km\vec{u} = km\vec{v}_2 + m\vec{v}_1$$

	В проекции на ось $Ox$:		В проекции на ось $Ox$:

	$$kmu = kmu_2 + mv_1,$$		$$kmu = kmu_2 + mv_1,$$

	Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение:		Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение:

	$$ku = kv_2 + v_1.\tag{1}$$		$$ku = kv_2 + v_1.\tag{1}$$

	Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии:		Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии:

	$$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$		$$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$

	Аналогично, разделим на $m/2$:		Аналогично, разделим на $m/2$:

	$$ku^2 = kv_2^2 + v_1^2. \tag{2}$$		$$ku^2 = kv_2^2 + v_1^2. \tag{2}$$

	Из уравнения $(1)$ выразим $v_1$ через $v_2$		Из уравнения $(1)$ выразим $v_1$ через $v_2$

	$$v_1 = k(u – v_2)$$		$$v_1 = k(u – v_2)$$

	Алалогично, из уравнения $(1)$ выразим $v_1^2$		Алалогично, из уравнения $(1)$ выразим $v_1^2$

	$$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$		$$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$

	Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим		Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим

	$$u + v_2 = v_1.\tag{3}$$		$$u + v_2 = v_1.\tag{3}$$

	Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$		Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$

	$$ku = kv_2 + u + v_2,$$		$$ku = kv_2 + u + v_2,$$

	откуда		откуда

	$$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\tag{4}$$		$$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\tag{4}$$

	Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то		Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то

	$$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \tag{5}$$		$$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \tag{5}$$

	Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$		Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$
	@@ -52,7 +52,7 @@Решение:

	$$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$		$$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$

	$$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. ~~\quad (*)~~$$		$$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. \tag{*}$$

	Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке.		Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке.

	![\|800x800, 50%](../../img/2.5.3/01.png)		![\|800x800, 50%](../../img/2.5.3/01.png)

	![\|800x800, 50%](../../img/2.5.3/02.png)		![\|800x800, 50%](../../img/2.5.3/02.png)

	### Ответ: $\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$		### Ответ: $\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$
	unchanged lines 5