Edit to “Решение”
ru/2.5.3.md
+1 −1
| ### Условие: | |||
| $2.5.3.$ На неподвижный шар налетает со скоростью $u$ шар, масса которого в $k$ раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости $u$. Постройте графики зависимости этих отношений от числа $k$. | |||
| @@ -4,7 +4,7 @@Условие: | |||
| ### Решение: | |||
| − |  | ||
| Запишем закон сохранения импульса: | |||
| $$km\vec{u} = km\vec{v}_2 + m\vec{v}_1$$ | |||
| В проекции на ось $Ox$: | |||
| $$kmu = kmu_2 + mv_1,$$ | |||
| Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение: | |||
| $$ku = kv_2 + v_1.\tag{1}$$ | |||
| Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии: | |||
| $$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$ | |||
| Аналогично, разделим на $m/2$: | |||
| $$ku^2 = kv_2^2 + v_1^2. \tag{2}$$ | |||
| Из уравнения $(1)$ выразим $v_1$ через $v_2$ | |||
| $$v_1 = k(u – v_2)$$ | |||
| Алалогично, из уравнения $(2 )$ выразим $v_1^2$ | |||
| $$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$ | |||
| Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим | |||
| $$u + v_2 = v_1.\tag{3}$$ | |||
| Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$ | |||
| $$ku = kv_2 + u + v_2,$$ | |||
| откуда | |||
| $$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\tag{4}$$ | |||
| Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то | |||
| $$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \tag{5}$$ | |||
| Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$ | |||
| $$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$ | |||
| $$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. \tag{*}$$ | |||
| Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке. | |||
| ### Ответ: $\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$ | |||
| unchanged lines 52 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.5.3.$ На неподвижный шар налетает со скоростью $u$ шар, масса которого в $k$ раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости $u$. Постройте графики зависимости этих отношений от числа $k$. | $2.5.3.$ На неподвижный шар налетает со скоростью $u$ шар, масса которого в $k$ раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости $u$. Постройте графики зависимости этих отношений от числа $k$. | ||
| @@ -4,7 +4,7 @@Условие: | |||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  | ||
| Запишем закон сохранения импульса: | Запишем закон сохранения импульса: | ||
| $$km\vec{u} = km\vec{v}_2 + m\vec{v}_1$$ | $$km\vec{u} = km\vec{v}_2 + m\vec{v}_1$$ | ||
| В проекции на ось $Ox$: | В проекции на ось $Ox$: | ||
| $$kmu = kmu_2 + mv_1,$$ | $$kmu = kmu_2 + mv_1,$$ | ||
| Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение: | Разделим на $m$, чтобы упростить уравнение: | ||
| $$ku = kv_2 + v_1.\tag{1}$$ | $$ku = kv_2 + v_1.\tag{1}$$ | ||
| Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии: | Для упругого удара выполняется закон сохранения кинетической энергии: | ||
| $$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$ | $$\frac{kmu^2}{2} = \frac{kmv_2^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2},$$ | ||
| Аналогично, разделим на $m/2$: | Аналогично, разделим на $m/2$: | ||
| $$ku^2 = kv_2^2 + v_1^2. \tag{2}$$ | $$ku^2 = kv_2^2 + v_1^2. \tag{2}$$ | ||
| Из уравнения $(1)$ выразим $v_1$ через $v_2$ | Из уравнения $(1)$ выразим $v_1$ через $v_2$ | ||
| $$v_1 = k(u – v_2)$$ | $$v_1 = k(u – v_2)$$ | ||
| Алалогично, из уравнения $(2 )$ выразим $v_1^2$ | Алалогично, из уравнения $(2 )$ выразим $v_1^2$ | ||
| $$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$ | $$v_1^2 = k(u^2 – v_2^2)$$ | ||
| Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим | Разделив левые и правые части уравнений соответственно, получим | ||
| $$u + v_2 = v_1.\tag{3}$$ | $$u + v_2 = v_1.\tag{3}$$ | ||
| Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$ | Сделаем замену найденной скорости $v_1$ в уравнение $(1)$ | ||
| $$ku = kv_2 + u + v_2,$$ | $$ku = kv_2 + u + v_2,$$ | ||
| откуда | откуда | ||
| $$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\tag{4}$$ | $$v_2 = \frac{u(k - 1)}{k + 1}.\tag{4}$$ | ||
| Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то | Если теперь подставить найденную скорость $v_2$ из $(4)$ в уравнение $(3)$, то | ||
| $$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \tag{5}$$ | $$v_1 = \frac{2ku}{k + 1}. \tag{5}$$ | ||
| Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$ | Найдем отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ к $u$ | ||
| $$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$ | $$\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1},$$ | ||
| $$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. \tag{*}$$ | $$\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}. \tag{*}$$ | ||
| Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке. | Для построения графика зависимости отношения скоростей от $k$, надо в формулы $(*)$ вместо $k$ подставить значения, например $\frac{1}{2}, 1, 2, 3, \infty$. Тогда графики будут иметь вид, представленный на рисунке. | ||
| ### Ответ: $\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$ | ### Ответ: $\frac{v_1}{u} = \frac{2k}{k + 1}$, $\frac{v_2}{u} = \frac{k - 1}{k + 1}$ | ||
| unchanged lines 52 | |||