Решение

В установившемся режиме заряды будут покоиться, т.е. действие всех сил на них будет скомпенсированно. Запишем второй закон Ньютона для каждого из зарядов:

$$F_{12}+F_{13}-T_{12}=0\tag{1}$$

$$-F_{12}+T_{12}+F_{23}-T_{23}=0\tag{2}$$

$$F_{23}+F_{13}-T_{23}=0\tag{3}$$

Расспишем силу Кулона, взаимодействия зарядов

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{\ell^2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_3}{(2\ell)^2}-T_{12}=0\tag{4}$$

$$-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{\ell^2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_2q_3}{\ell^2}+T_{12}-T_{23}=0\tag{5}$$

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_2q_3}{\ell^2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_3}{(2\ell)^2}-T_{23}=0\tag{6}$$

Из уравнений $(1),(3)$ найдём силу натяжения нитей $T_{12}$ и $T_{23}$

$$\boxed{T_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1(4q_2+q_3)}{4\ell^2};\quad T_{23}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_3(4q_2+q_1)}{4\ell^2}}$$