Решение

В установившемся режиме заряды будут покоиться, т.е. действие всех сил на них будет скомпенсированно. Запишем второй закон Ньютона для каждого из зарядов:

$$\left\{ \begin{gathered} F_{12}+F_{13}-T_{12}=0\tag{1} \\ -F_{12}+T_{12}+F_{23}-T_{23}=0\tag{2} \\ F_{23}+F_{13}-T_{23}=0\tag{3} \\ \end{gathered} \right.$$

Расспишем силу Кулона, взаимодействия зарядов

$$\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{\ell^2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_3}{(2\ell)^2}-T_{12}=0\tag{4} \\ -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{\ell^2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_2q_3}{\ell^2}+T_{12}-T_{23}=0\tag{5} \\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_2q_3}{\ell^2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_3}{(2\ell)^2}-T_{23}=0\tag{6} \\ \end{gathered} \right.$$

Из уравнений $(1),(3)$ найдём силу натяжения нитей $T_{12}$ и $T_{23}$

$$\boxed{T_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1(4q_2+q_3)}{4\ell^2};\quad T_{23}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_3(4q_2+q_1)}{4\ell^2}}$$