| @@ -1,44 +1,30 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.7.12.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.7.12.$ Найдите ускорение, с которым скатывается без проскальзывания по |
| | + | наклонной плоскости с углом $α$ тонкостенный цилиндр. Какова сила трения, действующая на него? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Запишем второй закон Ньютона и момент сил, считая массу $m$ известнлой: |
| | + | $$ma=mgsin\alpha-f$$ |
| | + | $$I\varepsilon=fR$$ |
| | + | $$a=\varepsilon R$$ |
| | + | $$I=mR^2$$ |
| | + | Где $f$ - сила трения; |
| | | |
| | + | $I$ - момент инерции тонкостенного цилиндра; |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | + | $R$ - радиус цилиндра. |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | + | Подставим момент инерции в уравнение момента сил: |
| | + | $$mR^2\varepsilon=fR$$ |
| | + | $R$ сокращается, и с учетом связи линейного и углового ускорений, получаем: |
| | + | $$f=ma$$ |
| | + | Подставим это в уравнение динамики: |
| | + | $$ma=mgsin\alpha-ma$$ |
| | + | Отсюда: |
| | + | $$\boxed{a=\frac{gsin\alpha}{2}}$$ |
| | + | Следовательно: |
| | + | $$\boxed{f=\frac{mgsin\alpha}{2}}$$ |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$a=\frac{gsin\alpha}{2}$$ |
| | + | $$f=\frac{mgsin\alpha}{2}$$ |
