| @@ -1,44 +1,51 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.8.10.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.8.10.$ |
| | + | Гладкий тонкий обруч массы m висит у стенки на одном гвозде (A) |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | и опирается на другой (B). Радиус, проведенный к гвоздю A из центра обруча, |
| | | |
| | + | образует угол α с вертикалью. Радиус же, проведенный к гвоздю B, образует |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | + | угол β с вертикалью. Найдите, с какой силой действует обруч на каждый гвоздь |
| | + |  |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | ### Решение |
| | + | |
| | + |  |
| | + | |
| | + | $$\vec{N_B} +\vec{N_A} +\vec{mg} =0$$ |
| | + | |
| | + | Находим угол между горизонтом и силой в точке В: |
| | + | |
| | + | $$\theta+\frac{\pi} {2}+(\pi+\beta)=\pi$$ |
| | + | $$\boxed{\theta=\beta-\frac{\pi}{2}} $$ |
| | + | |
| | + | Уравновешиваем силы на оси Х: |
| | + | $$N_B\cos\theta=N_A\sin\alpha$$ |
| | + | $$\cos\theta=\cos(\beta-\frac{\pi} {2})=\cos\beta\cos\frac{\pi}{2}+\sin\beta\sin\frac{\pi}{2}=\sin\beta$$ |
| | + | $$N_B\sin\beta=N_A\sin\alpha$$ |
| | + | $$N_B=N_A\frac{\sin\alpha} {\sin\beta} $$ |
| | + | |
| | + | Уравновешиваем силы на оси У: |
| | + | $$N_B\sin\theta+N_A\cos\alpha=mg$$ |
| | + | $$\sin\theta=\sin(\beta-\frac{\pi} {2})=\sin\beta\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\cos\beta=-\cos\beta$$ |
| | + | $$N_A\cos\alpha-N_B\cos\beta=mg$$ |
| | + | $$N_A\cos\alpha-N_A\frac{\sin\alpha} {\sin\beta} \cos\beta=mg$$ |
| | + | $$N_A(\frac{\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta}) =mg$$ |
| | + | $$N_A\frac{\sin(\beta-\alpha)} {\sin\beta} =mg$$ |
| | + | $$\boxed{N_A=mg\frac{\sin\beta} {\sin(\beta-\alpha)}} $$ |
| | + | |
| | + | |
| | + | $$N_B=mg\frac{\sin\beta} {\sin(\beta-\alpha)}×\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} $$ |
| | + | |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | $$\boxed{N_B=mg\frac{\sin\alpha} {\sin(\beta-\alpha)}} $$ |
| | + | |
| | + | ### Ответ |
| | + | $$N_A=mg\frac{\sin\beta} {\sin(\beta-\alpha)} $$ |
| | + | $$N_B=mg\frac{\sin\alpha} {\sin(\beta-\alpha)} $$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | − | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | |
