| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $2.8.10.$ Гладкий тонкий обруч массы m висит у стенки на одном гвозде $(A)$ и опирается на другой $(B)$. Радиус, проведенный к гвоздю $A$ из центра обруча, образует угол $\alpha$ с вертикалью. Радиус же, проведенный к гвоздю $B$, образует угол $\beta$ с вертикалью. Найдите, с какой силой действует обруч на каждый гвоздь. | | $2.8.10.$ Гладкий тонкий обруч массы m висит у стенки на одном гвозде $(A)$ и опирается на другой $(B)$. Радиус, проведенный к гвоздю $A$ из центра обруча, образует угол $\alpha$ с вертикалью. Радиус же, проведенный к гвоздю $B$, образует угол $\beta$ с вертикалью. Найдите, с какой силой действует обруч на каждый гвоздь. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Условие равновесия | | Условие равновесия |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \vec{N_B} +\vec{N_A} +\vec{mg} =0 | | \vec{N_B} +\vec{N_A} +\vec{mg} =0 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| \boxed{\theta=\beta-\frac{\pi}{2}} | | \boxed{\theta=\beta-\frac{\pi}{2}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Уравновешиваем силы на оси $X$: | | Уравновешиваем силы на оси $X$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_B\cos\theta=N_A\sin\alpha | | N_B\cos\theta=N_A\sin\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \cos\theta=\cos\left(\beta-\frac{\pi} {2}\right)=\cos\beta\cos\frac{\pi}{2}+\sin\beta\sin\frac{\pi}{2}=\sin\beta | | \cos\theta=\cos\left(\beta-\frac{\pi} {2}\right)=\cos\beta\cos\frac{\pi}{2}+\sin\beta\sin\frac{\pi}{2}=\sin\beta |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_B\sin\beta=N_A\sin\alpha | | N_B\sin\beta=N_A\sin\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_B=N_A\frac{\sin\alpha} {\sin\beta} | | N_B=N_A\frac{\sin\alpha} {\sin\beta} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Уравновешиваем силы на оси $Y$: | | Уравновешиваем силы на оси $Y$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_B\sin\theta+N_A\cos\alpha=mg | | N_B\sin\theta+N_A\cos\alpha=mg |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sin\theta=\sin\left(\beta-\frac{\pi} {2}\right)=\sin\beta\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\cos\beta=-\cos\beta | | \sin\theta=\sin\left(\beta-\frac{\pi} {2}\right)=\sin\beta\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\cos\beta=-\cos\beta |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_A\cos\alpha-N_B\cos\beta=mg | | N_A\cos\alpha-N_B\cos\beta=mg |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_A\cos\alpha-N_A\frac{\sin\alpha} {\sin\beta} \cos\beta=mg | | N_A\cos\alpha-N_A\frac{\sin\alpha} {\sin\beta} \cos\beta=mg |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_A\left(\frac{\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta}\right) =mg | | N_A\left(\frac{\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta}{\sin\beta}\right) =mg |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_A\frac{\sin\left(\beta-\alpha\right)} {\sin\beta} =mg | | N_A\frac{\sin\left(\beta-\alpha\right)} {\sin\beta} =mg |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{N_A=mg\frac{\sin\beta} {\sin\left(\beta-\alpha\right)}} | | \boxed{N_A=mg\frac{\sin\beta} {\sin\left(\beta-\alpha\right)}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_B=mg\frac{\sin\beta} {\sin\left(\beta-\alpha\right)}\cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} | | N_B=mg\frac{\sin\beta} {\sin\left(\beta-\alpha\right)}\cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{N_B=mg\frac{\sin\alpha} {\sin\left(\beta-\alpha\right)}} | | \boxed{N_B=mg\frac{\sin\alpha} {\sin\left(\beta-\alpha\right)}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| ### Ответ | | ### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_A=mg\frac{\sin\beta} {\sin\left(\beta-\alpha\right)} | | N_A=mg\frac{\sin\beta} {\sin\left(\beta-\alpha\right)} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N_B=mg\frac{\sin\alpha} {\sin\left(\beta-\alpha\right)} | | N_B=mg\frac{\sin\alpha} {\sin\left(\beta-\alpha\right)} |
| $$ | | $$ |
