Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/2.7.44.md
+31 −35
| @@ -1,44 +1,40 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.7.44.$ | ||
| + | $2.7.44.$Момент инерции твердого тела массы $m$ относительно оси $O$ равен $J$. | ||
| + | Центр масс тела находится на расстоянии $R$ от этой оси. Найдите силу, | ||
| + | действующую на ось при кратковременном приложении к твердому телу силы $F$, | ||
| + | перпендикулярной отрезку длины $x$, который соединяет точку приложения силы | ||
| + | и ось. При каком $x$ сила, действующая на ось, наименьшая? | ||
| − | |||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | #### Решение | ||
| + | Запишем момент сил относительно двух удобных точек; точки $O$ и центра масс: | ||
| + | $$J\varepsilon=Fx$$ | ||
| + | $$J_c\varepsilon=F(x-R)-F'R$$ | ||
| + | Момент инерции относительно точки $O$ выражаем через момент инерции относительно центра масс по теореме Штейнера: | ||
| + | $$J=J_c+mR^2$$ | ||
| + | Выразим момент инерции относительно центра масс: | ||
| + | $$J_c=J-mR^2$$ | ||
| + | Через самое первое уравнение динамики вращательного движения выразим угловое ускорение: | ||
| + | $$\varepsilon=\frac{Fx}{J}$$ | ||
| + | Подставим нужные нам значения во второе уравнение динамики вращательного движения: | ||
| + | $$(J-mR^2)\varepsilon=Fx-FR-F'R$$ | ||
| + | Откроем скобки: | ||
| + | $$Fx-mR^2\frac{Fx}{J}=Fx-FR-F'R$$ | ||
| + | Преобразуем: | ||
| + | $$F'R=FR(\frac{mRx}{J}-1)$$ | ||
| + | Получем ответ для произвольно значения $x$: | ||
| + | $$\boxed{F'=F(mRx/J-1)}$$ | ||
| + | Минимальная сила на ось будет равна нулю. | ||
| + | $$F'=0$$ | ||
| + | Из ответа на первый вопрос видно, что при силе равной нулю, мы получим следущие выражение: | ||
| + | $$\frac{mRx}{J}=1$$ | ||
| + | Получаем ответ: | ||
| + | $$\boxed{x=J/(mR)}$$ | ||
| − | ### Решение | ||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| + | $$F'=F(mRx/J-1)$$ | ||
| + | $$x=J/(mR)$$ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| @@ -1,44 +1,40 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.44.$ |
$2.7.44.$Момент инерции твердого тела массы $m$ относительно оси $O$ равен $J$. | ||
| Центр масс тела находится на расстоянии $R$ от этой оси. Найдите силу, | |||
| действующую на ось при кратковременном приложении к твердому телу силы $F$, | |||
| перпендикулярной отрезку длины $x$, который соединяет точку приложения силы | |||
| и ось. При каком $x$ сила, действующая на ось, наименьшая? | |||
| #### Решение | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | Запишем момент сил относительно двух удобных точек; точки $O$ и центра масс: | ||
| $$J\varepsilon=Fx$$ | |||
| $$J_c\varepsilon=F(x-R)-F'R$$ | |||
| Момент инерции относительно точки $O$ выражаем через момент инерции относительно центра масс по теореме Штейнера: | |||
| $$J=J_c+mR^2$$ | |||
| Выразим момент инерции относительно центра масс: | |||
| $$J_c=J-mR^2$$ | |||
| Через самое первое уравнение динамики вращательного движения выразим угловое ускорение: | |||
| $$\varepsilon=\frac{Fx}{J}$$ | |||
| Подставим нужные нам значения во второе уравнение динамики вращательного движения: | |||
| $$(J-mR^2)\varepsilon=Fx-FR-F'R$$ | |||
| Откроем скобки: | |||
| $$Fx-mR^2\frac{Fx}{J}=Fx-FR-F'R$$ | |||
| Преобразуем: | |||
| $$F'R=FR(\frac{mRx}{J}-1)$$ | |||
| Получем ответ для произвольно значения $x$: | |||
| $$\boxed{F'=F(mRx/J-1)}$$ | |||
| Минимальная сила на ось будет равна нулю. | |||
| $$F'=0$$ | |||
| Из ответа на первый вопрос видно, что при силе равной нулю, мы получим следущие выражение: | |||
| $$\frac{mRx}{J}=1$$ | |||
| Получаем ответ: | |||
| $$\boxed{x=J/(mR)}$$ | |||
| ### Решение | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$F'=F(mRx/J-1)$$ | |||
| $$x=J/(mR)$$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||