Edit to “Условие”

astrosander edited Jan 12, 2025, 12:33 AM

View solution History

revision #12736 parent #12735 ← older

ru/2.7.44.md +1 −1

		@@ -1,6 +1,6 @@
			### Условие

		−	$2.7.44.$Момент инерции твердого тела массы $m$ относительно оси $O$ равен $J$. Центр масс тела находится на расстоянии $R$ от этой оси. Найдите силу, действующую на ось при кратковременном приложении к твердому телу силы $F$, перпендикулярной отрезку длины $x$, который соединяет точку приложения силы и ось. При каком $x$ сила, действующая на ось, наименьшая?
		+	$2.7.44.$ Момент инерции твердого тела массы $m$ относительно оси $O$ равен $J$. Центр масс тела находится на расстоянии $R$ от этой оси. Найдите силу, действующую на ось при кратковременном приложении к твердому телу силы $F$, перпендикулярной отрезку длины $x$, который соединяет точку приложения силы и ось. При каком $x$ сила, действующая на ось, наименьшая?

			![К задаче $2.7.44$\|411x420, 30%](../../img/2.7.44/2.7.44.png)

			#### Решение
			Запишем момент сил относительно двух удобных точек; точки $O$ и центра масс:

			$$
			J\varepsilon=Fx
			$$

			$$
			J_c\varepsilon=F\left(x-R\right)-F'R
			$$

			Момент инерции относительно точки $O$ выражаем через момент инерции относительно центра масс по теореме Штейнера:

			$$
			J=J_c+mR^2
			$$

			Выразим момент инерции относительно центра масс:

			$$
			J_c=J-mR^2
			$$

			Через самое первое уравнение динамики вращательного движения выразим угловое ускорение:

			$$
			\varepsilon=\frac{Fx}{J}
			$$

			Подставим нужные нам значения во второе уравнение динамики вращательного движения:

			$$
			\left(J-mR^2\right)\varepsilon=Fx-FR-F'R
			$$

			Откроем скобки:

			$$
			Fx-mR^2\frac{Fx}{J}=Fx-FR-F'R
			$$

			Преобразуем:

			$$
			F'R=FR\left(\frac{mRx}{J}-1\right)
			$$

			Получем ответ для произвольно значения $x$:

			$$
			\boxed{F'=F\left(mRx/J-1\right)}
			$$

			Минимальная сила на ось будет равна нулю.

			$$
			F'=0
			$$

			Из ответа на первый вопрос видно, что при силе равной нулю, мы получим следущие выражение:

			$$
			\frac{mRx}{J}=1
			$$

			Получаем ответ:

			$$
			\boxed{x=J/\left(mR\right)}
			$$

			#### Ответ

			$$
			F'=F\left(mRx/J-1\right)
			$$

			$$
			x=J/\left(mR\right)
			$$
		unchanged lines 80

	@@ -1,6 +1,6 @@
	### Условие		### Условие

	$2.7.44.$Момент инерции твердого тела массы $m$ относительно оси $O$ равен $J$. Центр масс тела находится на расстоянии $R$ от этой оси. Найдите силу, действующую на ось при кратковременном приложении к твердому телу силы $F$, перпендикулярной отрезку длины $x$, который соединяет точку приложения силы и ось. При каком $x$ сила, действующая на ось, наименьшая?		$2.7.44.$ Момент инерции твердого тела массы $m$ относительно оси $O$ равен $J$. Центр масс тела находится на расстоянии $R$ от этой оси. Найдите силу, действующую на ось при кратковременном приложении к твердому телу силы $F$, перпендикулярной отрезку длины $x$, который соединяет точку приложения силы и ось. При каком $x$ сила, действующая на ось, наименьшая?

	![К задаче $2.7.44$\|411x420, 30%](../../img/2.7.44/2.7.44.png)		![К задаче $2.7.44$\|411x420, 30%](../../img/2.7.44/2.7.44.png)

	#### Решение		#### Решение
	Запишем момент сил относительно двух удобных точек; точки $O$ и центра масс:		Запишем момент сил относительно двух удобных точек; точки $O$ и центра масс:

	$$		$$
	J\varepsilon=Fx		J\varepsilon=Fx
	$$		$$

	$$		$$
	J_c\varepsilon=F\left(x-R\right)-F'R		J_c\varepsilon=F\left(x-R\right)-F'R
	$$		$$

	Момент инерции относительно точки $O$ выражаем через момент инерции относительно центра масс по теореме Штейнера:		Момент инерции относительно точки $O$ выражаем через момент инерции относительно центра масс по теореме Штейнера:

	$$		$$
	J=J_c+mR^2		J=J_c+mR^2
	$$		$$

	Выразим момент инерции относительно центра масс:		Выразим момент инерции относительно центра масс:

	$$		$$
	J_c=J-mR^2		J_c=J-mR^2
	$$		$$

	Через самое первое уравнение динамики вращательного движения выразим угловое ускорение:		Через самое первое уравнение динамики вращательного движения выразим угловое ускорение:

	$$		$$
	\varepsilon=\frac{Fx}{J}		\varepsilon=\frac{Fx}{J}
	$$		$$

	Подставим нужные нам значения во второе уравнение динамики вращательного движения:		Подставим нужные нам значения во второе уравнение динамики вращательного движения:

	$$		$$
	\left(J-mR^2\right)\varepsilon=Fx-FR-F'R		\left(J-mR^2\right)\varepsilon=Fx-FR-F'R
	$$		$$

	Откроем скобки:		Откроем скобки:

	$$		$$
	Fx-mR^2\frac{Fx}{J}=Fx-FR-F'R		Fx-mR^2\frac{Fx}{J}=Fx-FR-F'R
	$$		$$

	Преобразуем:		Преобразуем:

	$$		$$
	F'R=FR\left(\frac{mRx}{J}-1\right)		F'R=FR\left(\frac{mRx}{J}-1\right)
	$$		$$

	Получем ответ для произвольно значения $x$:		Получем ответ для произвольно значения $x$:

	$$		$$
	\boxed{F'=F\left(mRx/J-1\right)}		\boxed{F'=F\left(mRx/J-1\right)}
	$$		$$

	Минимальная сила на ось будет равна нулю.		Минимальная сила на ось будет равна нулю.

	$$		$$
	F'=0		F'=0
	$$		$$

	Из ответа на первый вопрос видно, что при силе равной нулю, мы получим следущие выражение:		Из ответа на первый вопрос видно, что при силе равной нулю, мы получим следущие выражение:

	$$		$$
	\frac{mRx}{J}=1		\frac{mRx}{J}=1
	$$		$$

	Получаем ответ:		Получаем ответ:

	$$		$$
	\boxed{x=J/\left(mR\right)}		\boxed{x=J/\left(mR\right)}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	F'=F\left(mRx/J-1\right)		F'=F\left(mRx/J-1\right)
	$$		$$

	$$		$$
	x=J/\left(mR\right)		x=J/\left(mR\right)
	$$		$$
	unchanged lines 80