Edits to “Решение”, “Анализ ситуации”, “Решение системы уравнений”

igor edited
View solution History
revision #13381 parent #13380 ← older newer →
ru/2.5.9.md +96 −3
@@ -4,8 +4,101 @@Условие
### Решение
−1
+#### Анализ ситуации
−#### Ответ
+Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях <<подталкивающие>> силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим <<концам>> спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно.
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после <<раздачи>> своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей.
+
+Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:
+
+$$
+\left\\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_2v_3+m_3v_3,\\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_3^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2},
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+
+где $v_1$ и $v_3$ есть скорости шаров 1 и 3 в конце.
+
+Можно видеть, что $m_2v_3\ll m_3v_3$ и $\dfrac{m_2v_3^2}{2}\ll\dfrac{m_3v_3^2}{2}$, поэтому составленную систему уравнений можно упростить так:
+
+$$
+\left\\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_3v_3,\\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}.
+\end{aligned}
+\right.\tag{1}
+$$
+
+Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$.
+
+Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения.
+
+#### Решение системы уравнений
+
+Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение:
+
+$$
+\left\\{\begin{aligned}&(m_2v+m_1v_1)^2=m_3^2v_3^2,\\\ &m_2v^2-m_1v_1^2=m_3v_3^2.
+\end{aligned}
+\right.
+$$
+
+Делим первое уравнение этой системы на второе:
+
+$$
+\frac{(m_2v+m_1v_1)^2}{m_2v^2-m_1v_1^2}=m_3.
+$$
+
+Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной~$v_1$. C условием малости массы~$m_2$ получаем приблизительное уравнение:
+
+$$
+m_1(m_1+m_3)v_1^2+2m_1m_2vv_1-v^2m_2m_3=0.
+$$
+
+Аккуратно находим, что допустимый корень этого уравнения ($v_1>0$) можно записать, например, в таком виде после сокращений
+
+$$
+v_1=v\frac{\sqrt{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}}{m_1m_{13}}-v\frac{m_2}{m_{13}},
+$$
+
+где $m_{13}=m_1+m_3$.
+
+Тут, с учетом $m_2\ll(m_1+m_3)=m_{13}$, избавляемся от отрицательного слагаемого; также вносим под корень знаменатель положительного слагаемого:
+
+$$
+v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}.
+$$
+
+Подкореное выражение запишем в виде суммы дробей:
+
+$$
+v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2}{m_1^2m_{13}^2}+\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}.
+$$
+
+Здесь $m_2^2\ll m_{13}^2$, что избавляет от первого слагаемого под корнем:
+
+$$
+v_1=v\sqrt{\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}.
+$$
+
+Упрощения этого выражения дают
+
+\begin{equation}v_1=v\sqrt{\frac{m_2m_3\strut}{m_1(m_1+m_3)}}\tag{2}
+\end{equation}
+
+(здесь учтено $m_{13}=m_1+m_3$).
+
+Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах
+
+$$
+m_1\to m_3,\quad m_3\to m_1
+$$
+
+в формуле $(2)$. О том, как <<эффектна>> симметрия при решении задач физики, см. в статье [2].
+
+Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо
+
+\begin{equation*}
+v_3=v\sqrt{\frac{m_2m_1\strut}{m_3(m_3+m_1)}}.
+\end{equation*}
+
+#### Ответ: $v_1=v\sqrt{\dfrac{m_2m_3\strut}{m_1(m_1+m_3)}}$, $v_3=v\sqrt{\dfrac{m_2m_1\strut}{m_3(m_3+m_1)}}$.