Edit to “Решение системы уравнений”
ru/2.5.9.md
+6 −6
| ### Условие | |||
| $2.5.9^*.$ Бусинки массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ могут скользить вдоль горизонтальной спицы без трения, причем $m_1\\gg m_2$ и $m_3\\gg m_2$. Определить максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняя бусинка имела скорость $v$. Удары упругие. | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| #### Анализ ситуации | |||
| Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\\gg m_2$ и $m_3\\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно. | |||
| Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей. | |||
| Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса: | |||
| $$ | |||
| \\left\\\\{\\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_2v_3+m_3v_3,\\\\\\ &\\frac{m_2v^2}{2}=\\frac{m_1v_1^2}{2}+\\frac{m_2v_3^2}{2}+\\frac{m_3v_3^2}{2}, | |||
| \\end{aligned} | |||
| \\right. | |||
| $$ | |||
| где $v_1$ и $v_3$ есть скорости шаров 1 и 3 в конце. | |||
| Можно видеть, что $m_2v_3\\ll m_3v_3$ и $\\dfrac{m_2v_3^2}{2}\\ll\\dfrac{m_3v_3^2}{2}$, поэтому составленную систему уравнений можно упростить так: | |||
| $$ | |||
| \\left\\\\{\\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_3v_3,\\\\\\ &\\frac{m_2v^2}{2}=\\frac{m_1v_1^2}{2}+\\frac{m_3v_3^2}{2}. | |||
| \\end{aligned} | |||
| \\right.\\tag{1} | |||
| $$ | |||
| Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$. | |||
| Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения. | |||
| #### Решение системы уравнений | |||
| Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение: | |||
| $$ | |||
| \\left\\\\{\\begin{aligned}&(m_2v+m_1v_1)^2=m_3^2v_3^2,\\\\\\ &m_2v^2-m_1v_1^2=m_3v_3^2. | |||
| \\end{aligned} | |||
| \\right. | |||
| $$ | |||
| Делим первое уравнение этой системы на второе: | |||
| $$ | |||
| \\frac{(m_2v+m_1v_1)^2}{m_2v^2-m_1v_1^2}=m_3. | |||
| $$ | |||
| Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной $v_1$. C условием малости массы $m_2$ получаем приблизительное уравнение: | |||
| $$ | |||
| m_1(m_1+m_3)v_1^2+2m_1m_2vv_1-v^2m_2m_3=0. | |||
| $$ | |||
| Аккуратно находим, что допустимый корень этого уравнения ($v_1>0$) можно записать, например, в таком виде после сокращений | |||
| $$ | |||
| v_1=v\\frac{\\sqrt{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}}{m_1m_{13}}-v\\frac{m_2}{m_{13}}, | |||
| $$ | |||
| где $m_{13}=m_1+m_3$. | |||
| Тут, с учетом $m_2\\ll(m_1+m_3)=m_{13}$, избавляемся от отрицательного слагаемого; также вносим под корень знаменатель положительного слагаемого: | |||
| $$ | |||
| v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. | |||
| $$ | |||
| Подкореное выражение запишем в виде суммы дробей: | |||
| $$ | |||
| v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1^2m_2^2}{m_1^2m_{13}^2}+\\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. | |||
| $$ | |||
| Здесь $m_2^2\\ll m_{13}^2$, что избавляет от первого слагаемого под корнем: | |||
| $$ | |||
| v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1m_2m_3m_{13}\\strut}{m_1^2m_{13}^2}}. | |||
| @@ -83,10 +83,10 @@Решение системы уравнений | |||
| $$ | |||
| Упрощения этого выражения дают | |||
| + | \[ | ||
| + | \boxed{v_1=v\\sqrt{\\frac{m_2m_3\\strut}{m_1(m_1+m_3)}}} | ||
| + | \] | ||
| − | \\begin{equation}v_1=v\\sqrt{\\frac{m_2m_3\\strut}{m_1(m_1+m_3)}}\\tag{2} | ||
| − | \\end{equation} | ||
| − | |||
| (здесь учтено $m_{13}=m_1+m_3$). | |||
| Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах | |||
| $$ | |||
| m_1\\to m_3,\\quad m_3\\to m_1 | |||
| $$ | |||
| в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2]. | |||
| @@ -99,9 +99,9 @@Решение системы уравнений | |||
| Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо | |||
| − | \\begin{equation*} | ||
| − | v_3=v\\sqrt{\\frac{m_2m_1\\strut}{m_3(m_3+m_1)}} | ||
| − | \\end{equation*} | ||
| + | \[ | ||
| + | \boxed{v_3=v\\sqrt{\\frac{m_2m_1\\strut}{m_3(m_3+m_1)}}} | ||
| + | \] | ||
| #### Литература | |||
| [1] С. Кротов. «Задачи на столкновения тел». В: Квант 12 (1980). | |||
| [2] Л. Тарасов. «Симметрия в задачах по физике». В: Квант 6 (1978). | |||
| [3] И. Белкин. «Столкновения тел». В: Квант 4 (1984). | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| v_1=v\\sqrt{\\dfrac{m_2m_3\\strut}{m_1(m_1+m_3)}}, | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| v_3=v\\sqrt{\\dfrac{m_2m_1\\strut}{m_3(m_3+m_1)}}. | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 17 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.5.9^*.$ Бусинки массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ могут скользить вдоль горизонтальной спицы без трения, причем $m_1\\gg m_2$ и $m_3\\gg m_2$. Определить максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняя бусинка имела скорость $v$. Удары упругие. | $2.5.9^*.$ Бусинки массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ могут скользить вдоль горизонтальной спицы без трения, причем $m_1\\gg m_2$ и $m_3\\gg m_2$. Определить максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняя бусинка имела скорость $v$. Удары упругие. | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| #### Анализ ситуации | #### Анализ ситуации | ||
| Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\\gg m_2$ и $m_3\\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно. | Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\\gg m_2$ и $m_3\\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно. | ||
| Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей. | Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей. | ||
| Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса: | Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса: | ||
| $$ | $$ | ||
| \\left\\\\{\\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_2v_3+m_3v_3,\\\\\\ &\\frac{m_2v^2}{2}=\\frac{m_1v_1^2}{2}+\\frac{m_2v_3^2}{2}+\\frac{m_3v_3^2}{2}, | \\left\\\\{\\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_2v_3+m_3v_3,\\\\\\ &\\frac{m_2v^2}{2}=\\frac{m_1v_1^2}{2}+\\frac{m_2v_3^2}{2}+\\frac{m_3v_3^2}{2}, | ||
| \\end{aligned} | \\end{aligned} | ||
| \\right. | \\right. | ||
| $$ | $$ | ||
| где $v_1$ и $v_3$ есть скорости шаров 1 и 3 в конце. | где $v_1$ и $v_3$ есть скорости шаров 1 и 3 в конце. | ||
| Можно видеть, что $m_2v_3\\ll m_3v_3$ и $\\dfrac{m_2v_3^2}{2}\\ll\\dfrac{m_3v_3^2}{2}$, поэтому составленную систему уравнений можно упростить так: | Можно видеть, что $m_2v_3\\ll m_3v_3$ и $\\dfrac{m_2v_3^2}{2}\\ll\\dfrac{m_3v_3^2}{2}$, поэтому составленную систему уравнений можно упростить так: | ||
| $$ | $$ | ||
| \\left\\\\{\\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_3v_3,\\\\\\ &\\frac{m_2v^2}{2}=\\frac{m_1v_1^2}{2}+\\frac{m_3v_3^2}{2}. | \\left\\\\{\\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_3v_3,\\\\\\ &\\frac{m_2v^2}{2}=\\frac{m_1v_1^2}{2}+\\frac{m_3v_3^2}{2}. | ||
| \\end{aligned} | \\end{aligned} | ||
| \\right.\\tag{1} | \\right.\\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$. | Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$. | ||
| Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения. | Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения. | ||
| #### Решение системы уравнений | #### Решение системы уравнений | ||
| Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение: | Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение: | ||
| $$ | $$ | ||
| \\left\\\\{\\begin{aligned}&(m_2v+m_1v_1)^2=m_3^2v_3^2,\\\\\\ &m_2v^2-m_1v_1^2=m_3v_3^2. | \\left\\\\{\\begin{aligned}&(m_2v+m_1v_1)^2=m_3^2v_3^2,\\\\\\ &m_2v^2-m_1v_1^2=m_3v_3^2. | ||
| \\end{aligned} | \\end{aligned} | ||
| \\right. | \\right. | ||
| $$ | $$ | ||
| Делим первое уравнение этой системы на второе: | Делим первое уравнение этой системы на второе: | ||
| $$ | $$ | ||
| \\frac{(m_2v+m_1v_1)^2}{m_2v^2-m_1v_1^2}=m_3. | \\frac{(m_2v+m_1v_1)^2}{m_2v^2-m_1v_1^2}=m_3. | ||
| $$ | $$ | ||
| Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной $v_1$. C условием малости массы $m_2$ получаем приблизительное уравнение: | Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной $v_1$. C условием малости массы $m_2$ получаем приблизительное уравнение: | ||
| $$ | $$ | ||
| m_1(m_1+m_3)v_1^2+2m_1m_2vv_1-v^2m_2m_3=0. | m_1(m_1+m_3)v_1^2+2m_1m_2vv_1-v^2m_2m_3=0. | ||
| $$ | $$ | ||
| Аккуратно находим, что допустимый корень этого уравнения ($v_1>0$) можно записать, например, в таком виде после сокращений | Аккуратно находим, что допустимый корень этого уравнения ($v_1>0$) можно записать, например, в таком виде после сокращений | ||
| $$ | $$ | ||
| v_1=v\\frac{\\sqrt{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}}{m_1m_{13}}-v\\frac{m_2}{m_{13}}, | v_1=v\\frac{\\sqrt{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}}{m_1m_{13}}-v\\frac{m_2}{m_{13}}, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $m_{13}=m_1+m_3$. | где $m_{13}=m_1+m_3$. | ||
| Тут, с учетом $m_2\\ll(m_1+m_3)=m_{13}$, избавляемся от отрицательного слагаемого; также вносим под корень знаменатель положительного слагаемого: | Тут, с учетом $m_2\\ll(m_1+m_3)=m_{13}$, избавляемся от отрицательного слагаемого; также вносим под корень знаменатель положительного слагаемого: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. | v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Подкореное выражение запишем в виде суммы дробей: | Подкореное выражение запишем в виде суммы дробей: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1^2m_2^2}{m_1^2m_{13}^2}+\\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. | v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1^2m_2^2}{m_1^2m_{13}^2}+\\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Здесь $m_2^2\\ll m_{13}^2$, что избавляет от первого слагаемого под корнем: | Здесь $m_2^2\\ll m_{13}^2$, что избавляет от первого слагаемого под корнем: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1m_2m_3m_{13}\\strut}{m_1^2m_{13}^2}}. | v_1=v\\sqrt{\\frac{m_1m_2m_3m_{13}\\strut}{m_1^2m_{13}^2}}. | ||
| @@ -83,10 +83,10 @@Решение системы уравнений | |||
| $$ | $$ | ||
| Упрощения этого выражения дают | Упрощения этого выражения дают | ||
| \[ | |||
| \boxed{v_1=v\\sqrt{\\frac{m_2m_3\\strut}{m_1(m_1+m_3)}}} | |||
| \] | |||
| \\begin{equation}v_1=v\\sqrt{\\frac{m_2m_3\\strut}{m_1(m_1+m_3)}}\\tag{2} | |||
| \\end{equation} | |||
| (здесь учтено $m_{13}=m_1+m_3$). | (здесь учтено $m_{13}=m_1+m_3$). | ||
| Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах | Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах | ||
| $$ | $$ | ||
| m_1\\to m_3,\\quad m_3\\to m_1 | m_1\\to m_3,\\quad m_3\\to m_1 | ||
| $$ | $$ | ||
| в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2]. | в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2]. | ||
| @@ -99,9 +99,9 @@Решение системы уравнений | |||
| Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо | Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо | ||
| \\begin{equation*} | \[ | ||
| v_3=v\\sqrt{\\frac{m_2m_1\\strut}{m_3(m_3+m_1)}} |
\boxed{v_3=v\\sqrt{\\frac{m_2m_1\\strut}{m_3(m_3+m_1)}}} | ||
| \\end{equation*} | \] | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] С. Кротов. «Задачи на столкновения тел». В: Квант 12 (1980). | [1] С. Кротов. «Задачи на столкновения тел». В: Квант 12 (1980). | ||
| [2] Л. Тарасов. «Симметрия в задачах по физике». В: Квант 6 (1978). | [2] Л. Тарасов. «Симметрия в задачах по физике». В: Квант 6 (1978). | ||
| [3] И. Белкин. «Столкновения тел». В: Квант 4 (1984). | [3] И. Белкин. «Столкновения тел». В: Квант 4 (1984). | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_1=v\\sqrt{\\dfrac{m_2m_3\\strut}{m_1(m_1+m_3)}}, | v_1=v\\sqrt{\\dfrac{m_2m_3\\strut}{m_1(m_1+m_3)}}, | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_3=v\\sqrt{\\dfrac{m_2m_1\\strut}{m_3(m_3+m_1)}}. | v_3=v\\sqrt{\\dfrac{m_2m_1\\strut}{m_3(m_3+m_1)}}. | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 17 | |||