| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $2.5.9^*.$ Бусинки массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ могут скользить вдоль горизонтальной спицы без трения, причем $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$. Определить максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняя бусинка имела скорость $v$. Удары упругие. | | $2.5.9^*.$ Бусинки массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ могут скользить вдоль горизонтальной спицы без трения, причем $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$. Определить максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняя бусинка имела скорость $v$. Удары упругие. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| #### Анализ ситуации | | #### Анализ ситуации |
| | | |
| Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно. | | Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно. |
| | | |
| Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей. | | Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей. |
| | | |
| Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса: | | Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left\\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_2v_3+m_3v_3,\\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_3^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}, | | \left\\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_2v_3+m_3v_3,\\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_3^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}, |
| \end{aligned} | | \end{aligned} |
| \right. | | \right. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $v_1$ и $v_3$ есть скорости шаров 1 и 3 в конце. | | где $v_1$ и $v_3$ есть скорости шаров 1 и 3 в конце. |
| | | |
| Можно видеть, что $m_2v_3\ll m_3v_3$ и $\dfrac{m_2v_3^2}{2}\ll\dfrac{m_3v_3^2}{2}$, поэтому составленную систему уравнений можно упростить так: | | Можно видеть, что $m_2v_3\ll m_3v_3$ и $\dfrac{m_2v_3^2}{2}\ll\dfrac{m_3v_3^2}{2}$, поэтому составленную систему уравнений можно упростить так: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left\\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_3v_3,\\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}. | | \left\\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_3v_3,\\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}. |
| \end{aligned} | | \end{aligned} |
| \right.\tag{1} | | \right.\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$. | | Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$. |
| | | |
| Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения. | | Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения. |
| | | |
| #### Решение системы уравнений | | #### Решение системы уравнений |
| | | |
| Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение: | | Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left\\{\begin{aligned}&(m_2v+m_1v_1)^2=m_3^2v_3^2,\\\ &m_2v^2-m_1v_1^2=m_3v_3^2. | | \left\\{\begin{aligned}&(m_2v+m_1v_1)^2=m_3^2v_3^2,\\\ &m_2v^2-m_1v_1^2=m_3v_3^2. |
| \end{aligned} | | \end{aligned} |
| \right. | | \right. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Делим первое уравнение этой системы на второе: | | Делим первое уравнение этой системы на второе: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{(m_2v+m_1v_1)^2}{m_2v^2-m_1v_1^2}=m_3. | | \frac{(m_2v+m_1v_1)^2}{m_2v^2-m_1v_1^2}=m_3. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной $v_1$. C условием малости массы $m_2$ получаем приблизительное уравнение: | | Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной $v_1$. C условием малости массы $m_2$ получаем приблизительное уравнение: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| m_1(m_1+m_3)v_1^2+2m_1m_2vv_1-v^2m_2m_3=0. | | m_1(m_1+m_3)v_1^2+2m_1m_2vv_1-v^2m_2m_3=0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Аккуратно находим, что допустимый корень этого уравнения ($v_1>0$) можно записать, например, в таком виде после сокращений | | Аккуратно находим, что допустимый корень этого уравнения ($v_1>0$) можно записать, например, в таком виде после сокращений |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_1=v\frac{\sqrt{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}}{m_1m_{13}}-v\frac{m_2}{m_{13}}, | | v_1=v\frac{\sqrt{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}}{m_1m_{13}}-v\frac{m_2}{m_{13}}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $m_{13}=m_1+m_3$. | | где $m_{13}=m_1+m_3$. |
| | | |
| Тут, с учетом $m_2\ll(m_1+m_3)=m_{13}$, избавляемся от отрицательного слагаемого; также вносим под корень знаменатель положительного слагаемого: | | Тут, с учетом $m_2\ll(m_1+m_3)=m_{13}$, избавляемся от отрицательного слагаемого; также вносим под корень знаменатель положительного слагаемого: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. | | v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подкореное выражение запишем в виде суммы дробей: | | Подкореное выражение запишем в виде суммы дробей: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2}{m_1^2m_{13}^2}+\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. | | v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2}{m_1^2m_{13}^2}+\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Здесь $m_2^2\ll m_{13}^2$, что избавляет от первого слагаемого под корнем: | | Здесь $m_2^2\ll m_{13}^2$, что избавляет от первого слагаемого под корнем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_1=v\sqrt{\frac{m_1m_2m_3m_{13}\strut}{m_1^2m_{13}^2}}. | | v_1=v\sqrt{\frac{m_1m_2m_3m_{13}\strut}{m_1^2m_{13}^2}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Упрощения этого выражения дают | | Упрощения этого выражения дают |
| | | |
| \begin{equation}v_1=v\sqrt{\frac{m_2m_3\strut}{m_1(m_1+m_3)}}\tag{2} | | \begin{equation}v_1=v\sqrt{\frac{m_2m_3\strut}{m_1(m_1+m_3)}}\tag{2} |
| \end{equation} | | \end{equation} |
| | | |
| (здесь учтено $m_{13}=m_1+m_3$). | | (здесь учтено $m_{13}=m_1+m_3$). |
| | | |
| Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах | | Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах |
| | | |
| $$ | | $$ |
| m_1\to m_3,\quad m_3\to m_1 | | m_1\to m_3,\quad m_3\to m_1 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2]. | | в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2]. |
| | | |
| Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо | | Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо |
| | | |
| \begin{equation*} | | \begin{equation*} |
| v_3=v\sqrt{\frac{m_2m_1\strut}{m_3(m_3+m_1)}}. | | v_3=v\sqrt{\frac{m_2m_1\strut}{m_3(m_3+m_1)}}. |
| \end{equation*} | | \end{equation*} |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] С. Кротов. «Задачи на столкновения тел». В: Квант 12 (1980). | | [1] С. Кротов. «Задачи на столкновения тел». В: Квант 12 (1980). |
| | | |
| [2] Л. Тарасов. «Симметрия в задачах по физике». В: Квант 6 (1978). | | [2] Л. Тарасов. «Симметрия в задачах по физике». В: Квант 6 (1978). |
