Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях <<подталкивающие>> силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим <<концам>> спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно.
+
Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно.
−
Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после <<раздачи>> своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей.
+
Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей.
Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:
Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$.
Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения.
#### Решение системы уравнений
Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение:
Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах
$$
@@ -93,7 +93,7 @@Решение системы уравнений
m_1\to m_3,\quad m_3\to m_1
$$
−
в формуле $(2)$. О том, как <<эффектна>> симметрия при решении задач физики, см. в статье [2].
+
в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2].
Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо
Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях <<подталкивающие>> силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим <<концам>> спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно.
Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно.
Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после <<раздачи>> своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей.
Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей.
Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:
Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:
Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$.
Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$.
Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения.
Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения.
#### Решение системы уравнений
#### Решение системы уравнений
Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение:
Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение:
Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах
Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах
$$
$$
@@ -93,7 +93,7 @@Решение системы уравнений
m_1\to m_3,\quad m_3\to m_1
m_1\to m_3,\quad m_3\to m_1
$$
$$
в формуле $(2)$. О том, как <<эффектна>> симметрия при решении задач физики, см. в статье [2].
в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2].
Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо
Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо
