Edit to “Решение”
ru/4.2.23.md
+30 −1
| ### Условие | |||
| $4.2.23.$ Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса 2 м и массы 35 т? Глубина моря 100 м, высота борта судна 3 м, плотность морской воды 1020 кг/м3. | |||
| В задачнике неверно указана плотность морской воды. Тут указана верно. | |||
| @@ -6,8 +6,37 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − | Искомая минимальная работа будет состоять из трёх компонент. Первая - работа по перемещению батисферы к поверхности моря. На этом этапе на батисферу будут действовать сила тяжести и постоянная сила Архимеда. Вторая компонента - это само всплытие батисферы на поверхность моря. На этом этапе сила Архимеда изменяется в зависимости от объема погруженной части в воду. Третья компонента - поднятие батисферы в воздухе с поверхности моря на борт корабля. | ||
| + | Искомая минимальная работа будет состоять из трёх компонент. Первая - работа по перемещению батисферы к поверхности моря. На этом этапе на батисферу будут действовать сила тяжести и постоянная сила Архимеда. Вторая компонента - это само всплытие батисферы на поверхность моря. На этом этапе сила Архимеда изменяется в зависимости от объема погруженной части в воду. Третья компонента - поднятие батисферы в воздухе с поверхности моря на борт корабля. На этом этапе отсутствует выталкивающая сила Архимеда. | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | Введём обозначения. Радиус батисферы - $R$, масса батисферы - $M$, глубина моря - $H$, высота борта судна - $h$, плотность морской воды - $\rho$. На рисунке схематично представлены все три этапа поднятия батисферы. | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим $\textbf{первый этап}$. | ||
| + | |||
| + | На батисферу действует сила тяжести и сила Архимеда. Вес батисферы будет равен разности этих сил: | ||
| + | |||
| + | $$F_{1}=Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $H-2R$, то есть центр батисферы находится на расстоянии $R$ от самой поверхности (до начала подъема центр батисферы находится на расстоянии $R$ от дна). Соответственно работа на данном этапе будет равна: | ||
| + | |||
| + | $$A_{1}=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим $\textbf{второй этап}$. | ||
| + | |||
| + | Здесь сила Архимеда зависит от объема батисферы погруженной в морскую воду: | ||
| + | |||
| + | $$F_{A}=\rho gV_{погруж}$$ | ||
| + | |||
| + | Если обозначить за $x$ высоту шарового сегмента выступающего над поверхностью воды, то объем шарового сегмента согласно геометрической формулы: $V(x)=\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$. Вес батисферы на этом этапе можна записать так: | ||
| + | |||
| + | $$F_{2}(x)=Mg-\rho gV(x)=Mg-\rho g\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $2R$ (вначале центр батисферы находится на расстоянии $R$ под водой, а после всплытия на расстоянии $2R$ над водой). Работа найдётся через интеграл: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| $A \approx 2,5 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.2.23.$ Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса 2 м и массы 35 т? Глубина моря 100 м, высота борта судна 3 м, плотность морской воды 1020 кг/м3. | $4.2.23.$ Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса 2 м и массы 35 т? Глубина моря 100 м, высота борта судна 3 м, плотность морской воды 1020 кг/м3. | ||
| В задачнике неверно указана плотность морской воды. Тут указана верно. | В задачнике неверно указана плотность морской воды. Тут указана верно. | ||
| @@ -6,8 +6,37 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Искомая минимальная работа будет состоять из трёх компонент. Первая - работа по перемещению батисферы к поверхности моря. На этом этапе на батисферу будут действовать сила тяжести и постоянная сила Архимеда. Вторая компонента - это само всплытие батисферы на поверхность моря. На этом этапе сила Архимеда изменяется в зависимости от объема погруженной части в воду. Третья компонента - поднятие батисферы в воздухе с поверхности моря на борт корабля. | Искомая минимальная работа будет состоять из трёх компонент. Первая - работа по перемещению батисферы к поверхности моря. На этом этапе на батисферу будут действовать сила тяжести и постоянная сила Архимеда. Вторая компонента - это само всплытие батисферы на поверхность моря. На этом этапе сила Архимеда изменяется в зависимости от объема погруженной части в воду. Третья компонента - поднятие батисферы в воздухе с поверхности моря на борт корабля. На этом этапе отсутствует выталкивающая сила Архимеда. | ||
|  | |||
| Введём обозначения. Радиус батисферы - $R$, масса батисферы - $M$, глубина моря - $H$, высота борта судна - $h$, плотность морской воды - $\rho$. На рисунке схематично представлены все три этапа поднятия батисферы. | |||
| Рассмотрим $\textbf{первый этап}$. | |||
| На батисферу действует сила тяжести и сила Архимеда. Вес батисферы будет равен разности этих сил: | |||
| $$F_{1}=Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}$$ | |||
| Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $H-2R$, то есть центр батисферы находится на расстоянии $R$ от самой поверхности (до начала подъема центр батисферы находится на расстоянии $R$ от дна). Соответственно работа на данном этапе будет равна: | |||
| $$A_{1}=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)$$ | |||
| Рассмотрим $\textbf{второй этап}$. | |||
| Здесь сила Архимеда зависит от объема батисферы погруженной в морскую воду: | |||
| $$F_{A}=\rho gV_{погруж}$$ | |||
| Если обозначить за $x$ высоту шарового сегмента выступающего над поверхностью воды, то объем шарового сегмента согласно геометрической формулы: $V(x)=\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$. Вес батисферы на этом этапе можна записать так: | |||
| $$F_{2}(x)=Mg-\rho gV(x)=Mg-\rho g\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$$ | |||
| Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $2R$ (вначале центр батисферы находится на расстоянии $R$ под водой, а после всплытия на расстоянии $2R$ над водой). Работа найдётся через интеграл: | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $A \approx 2,5 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$ | $A \approx 2,5 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$ | ||