Edit to “Решение”

emixter edited Mar 23, 2025, 6:38 AM

View solution History

revision #13743 parent #13737 ← older newer →

ru/4.2.23.md +1 −1

			### Условие

			$4.2.23.$ Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса $2 \mathrm{~м}$ и массы $35 \mathrm{~т}$? Глубина моря $100 \mathrm{~м}$, высота борта судна $3 \mathrm{~м}$, плотность морской воды $1{,}020 \mathrm{~кг/м^3}$.

			В задачнике неверно указана плотность морской воды. Тут указана верно.

			### Решение

			Искомая минимальная работа будет состоять из трёх компонент. Первая - работа по перемещению батисферы к поверхности моря. На этом этапе на батисферу будут действовать сила тяжести и постоянная сила Архимеда. Вторая компонента - это само всплытие батисферы на поверхность моря. На этом этапе сила Архимеда изменяется в зависимости от объема погруженной части в воду. Третья компонента - поднятие батисферы в воздухе с поверхности моря на борт корабля. На этом этапе отсутствует выталкивающая сила Архимеда.

			![\|194x196, 50%](../../img/4.2.23/Figure.png)

			Введём обозначения. Радиус батисферы - $R$, масса батисферы - $M$, глубина моря - $H$, высота борта судна - $h$, плотность морской воды - $\rho$. На рисунке схематично представлены все три этапа поднятия батисферы.

			Рассмотрим $\textbf{первый этап}$.

			На батисферу действует сила тяжести и сила Архимеда. Вес батисферы будет равен разности этих сил:

			$$F_{1}=Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}$$

			Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $H-2R$, то есть центр батисферы находится на расстоянии $R$ от самой поверхности (до начала подъема центр батисферы находится на расстоянии $R$ от дна). Соответственно работа на данном этапе будет равна:

			$$A_{1}=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)$$

			Рассмотрим $\textbf{второй этап}$.

			Здесь сила Архимеда зависит от объема батисферы погруженной в морскую воду:
		@@ -28,7 +28,7 @@Решение

			$$F_{A}=\rho gV_{погруж}$$

		−	Если обозначить за $x$ высоту шарового сегмента ~~выступающего на~~д поверхностью воды, то объем шарового сегмента согласно геометрической формулы: $V(x)=\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$. Вес батисферы на этом этапе можна записать так:
		+	Если обозначить за $x$ высоту шарового сегмента находящегося под поверхностью воды, то объем шарового сегмента согласно геометрической формулы: $V(x)=\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$. Вес батисферы на этом этапе можна записать так:

			$$F_{2}(x)=Mg-\rho gV(x)=Mg-\rho g\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$$

			Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $2R$ (вначале центр батисферы находится на расстоянии $R$ под водой, а после всплытия на расстоянии $2R$ над водой). Работа найдётся через интеграл:

			$$A_{2}=\int_{0}^{2R}\left[ Mg-\rho g\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right) \right]dx$$

			$$A_{2}=2MgR-\frac{8}{3}\pi\rho gR^{4}+\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}=2MgR-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}$$

			Рассмотрим $\textbf{третий этап}$.

			Вес батисферы на этом этапе равен силе тяжести:

			$$F_{3}=Mg$$

			Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $h$. Работа равна:

			$$A_{3}=Mgh$$

			Итак, искомая работа будет:

			$$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}$$

			$$A=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)+2MgR-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}+Mgh$$

			После раскрытия скобок и упрощений, получим:

			$$A=Mg(H+h)-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}(H-R)$$

			После подстановки числовых значений получим: $A=2{,}502 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$

			#### Ответ: $A \approx 2{,}5 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$
		unchanged lines 29