| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $4.2.23.$ Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса $2 \mathrm{~м}$ и массы $35 \mathrm{~т}$? Глубина моря $100 \mathrm{~м}$, высота борта судна $3 \mathrm{~м}$, плотность морской воды $1{,}020 \mathrm{~кг/м^3}$. | | $4.2.23.$ Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса $2 \mathrm{~м}$ и массы $35 \mathrm{~т}$? Глубина моря $100 \mathrm{~м}$, высота борта судна $3 \mathrm{~м}$, плотность морской воды $1{,}020 \mathrm{~кг/м^3}$. |
| | | |
| В задачнике неверно указана плотность морской воды. Тут указана верно. | | В задачнике неверно указана плотность морской воды. Тут указана верно. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Искомая минимальная работа будет состоять из трёх компонент. Первая - работа по перемещению батисферы к поверхности моря. На этом этапе на батисферу будут действовать сила тяжести и постоянная сила Архимеда. Вторая компонента - это само всплытие батисферы на поверхность моря. На этом этапе сила Архимеда изменяется в зависимости от объема погруженной части в воду. Третья компонента - поднятие батисферы в воздухе с поверхности моря на борт корабля. На этом этапе отсутствует выталкивающая сила Архимеда. | | Искомая минимальная работа будет состоять из трёх компонент. Первая - работа по перемещению батисферы к поверхности моря. На этом этапе на батисферу будут действовать сила тяжести и постоянная сила Архимеда. Вторая компонента - это само всплытие батисферы на поверхность моря. На этом этапе сила Архимеда изменяется в зависимости от объема погруженной части в воду. Третья компонента - поднятие батисферы в воздухе с поверхности моря на борт корабля. На этом этапе отсутствует выталкивающая сила Архимеда. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Введём обозначения. Радиус батисферы - $R$, масса батисферы - $M$, глубина моря - $H$, высота борта судна - $h$, плотность морской воды - $\rho$. На рисунке схематично представлены все три этапа поднятия батисферы. | | Введём обозначения. Радиус батисферы - $R$, масса батисферы - $M$, глубина моря - $H$, высота борта судна - $h$, плотность морской воды - $\rho$. На рисунке схематично представлены все три этапа поднятия батисферы. |
| | | |
| Рассмотрим $\textbf{первый этап}$. | | Рассмотрим $\textbf{первый этап}$. |
| | | |
| На батисферу действует сила тяжести и сила Архимеда. Вес батисферы будет равен разности этих сил: | | На батисферу действует сила тяжести и сила Архимеда. Вес батисферы будет равен разности этих сил: |
| | | |
| $$F_{1}=Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}$$ | | $$F_{1}=Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}$$ |
| | | |
| Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $H-2R$, то есть центр батисферы находится на расстоянии $R$ от самой поверхности (до начала подъема центр батисферы находится на расстоянии $R$ от дна). Соответственно работа на данном этапе будет равна: | | Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $H-2R$, то есть центр батисферы находится на расстоянии $R$ от самой поверхности (до начала подъема центр батисферы находится на расстоянии $R$ от дна). Соответственно работа на данном этапе будет равна: |
| | | |
| $$A_{1}=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)$$ | | $$A_{1}=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)$$ |
| | | |
| Рассмотрим $\textbf{второй этап}$. | | Рассмотрим $\textbf{второй этап}$. |
| | | |
| Здесь сила Архимеда зависит от объема батисферы погруженной в морскую воду: | | Здесь сила Архимеда зависит от объема батисферы погруженной в морскую воду: |
| | | |
| $$F_{A}=\rho gV_{погруж}$$ | | $$F_{A}=\rho gV_{погруж}$$ |
| | | |
| Если обозначить за $x$ высоту шарового сегмента находящегося под поверхностью воды, то объем шарового сегмента согласно геометрической формулы: $V(x)=\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$. Вес батисферы на этом этапе можна записать так: | | Если обозначить за $x$ высоту шарового сегмента находящегося под поверхностью воды, то объем шарового сегмента согласно геометрической формулы: $V(x)=\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$. Вес батисферы на этом этапе можна записать так: |
| $$A_{2}=2MgR-\frac{8}{3}\pi\rho gR^{4}+\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}=2MgR-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}$$ | | $$A_{2}=2MgR-\frac{8}{3}\pi\rho gR^{4}+\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}=2MgR-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}$$ |
| | | |
| Рассмотрим $\textbf{третий этап}$. | | Рассмотрим $\textbf{третий этап}$. |
| | | |
| Вес батисферы на этом этапе равен силе тяжести: | | Вес батисферы на этом этапе равен силе тяжести: |
| | | |
| $$F_{3}=Mg$$ | | $$F_{3}=Mg$$ |
| | | |
| Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $h$. Работа равна: | | Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $h$. Работа равна: |
| | | |
| $$A_{3}=Mgh$$ | | $$A_{3}=Mgh$$ |
| | | |
| Итак, искомая работа будет: | | Итак, искомая работа будет: |
| | | |
| $$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}$$ | | $$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}$$ |
| | | |
| $$A=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)+2MgR-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}+Mgh$$ | | $$A=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)+2MgR-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{4}+Mgh$$ |
| | | |
| После раскрытия скобок и упрощений, получим: | | После раскрытия скобок и упрощений, получим: |
| | | |
| $$A=Mg(H+h)-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}(H-R)$$ | | $$A=Mg(H+h)-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}(H-R)$$ |
| | | |
| После подстановки числовых значений получим: $A=2{,}502 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$ | | После подстановки числовых значений получим: $A=2{,}502 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$ |
| | | |
| #### Ответ: $A \approx 2{,}5 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$ | | #### Ответ: $A \approx 2{,}5 \cdot 10^{6} \text{ Дж}$ |
