Edit to “Условие”
ru/1.3.15.md
+1 −1
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| − | $1.3.15.$ По внутренней поверхности гладкого вертикального цилинра радиуса $R$ под углом $\alpha$ к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку? | ||
| + | $1.3.15.$ По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра радиуса $R$ под углом $\alpha$ к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку? | ||
| ### Решение: | |||
| Разобьем движение на вертикальное и в плоскости поперечного сечения цилиндра | |||
| $$ | |||
| x = vt \sin\alpha | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| y = vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} | |||
| $$ | |||
| Учитываем, что перемещение по $Ox$ равно длине окружности, а по $Oy$ — 0: | |||
| $$ | |||
| vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} = 0 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| vt \sin\alpha = 2\pi n R,\,n\in \mathbb{N} | |||
| $$ | |||
| Время $t$ найдем как | |||
| $$ | |||
| t = \frac{2\pi n R}{v \sin\alpha} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| 2v \cos\alpha = g\frac{2\pi n R}{v \sin\alpha} | |||
| $$ | |||
| Отсюда выражаем $v$: | |||
| $$ | |||
| \fbox{$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ: | |||
| $v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$, где $n$ — любое натуральное число; при $\alpha = 0$ скорость может быть любой по модулю. | |||
| unchanged lines 39 | |||
| @@ -1,6 +1,6 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.3.15.$ По внутренней поверхности гладкого вертикального цилинра радиуса $R$ под углом $\alpha$ к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку? | $1.3.15.$ По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра радиуса $R$ под углом $\alpha$ к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Разобьем движение на вертикальное и в плоскости поперечного сечения цилиндра | Разобьем движение на вертикальное и в плоскости поперечного сечения цилиндра | ||
| $$ | $$ | ||
| x = vt \sin\alpha | x = vt \sin\alpha | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| y = vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} | y = vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Учитываем, что перемещение по $Ox$ равно длине окружности, а по $Oy$ — 0: | Учитываем, что перемещение по $Ox$ равно длине окружности, а по $Oy$ — 0: | ||
| $$ | $$ | ||
| vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} = 0 | vt \cos\alpha - \frac{gt^2}{2} = 0 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| vt \sin\alpha = 2\pi n R,\,n\in \mathbb{N} | vt \sin\alpha = 2\pi n R,\,n\in \mathbb{N} | ||
| $$ | $$ | ||
| Время $t$ найдем как | Время $t$ найдем как | ||
| $$ | $$ | ||
| t = \frac{2\pi n R}{v \sin\alpha} | t = \frac{2\pi n R}{v \sin\alpha} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| 2v \cos\alpha = g\frac{2\pi n R}{v \sin\alpha} | 2v \cos\alpha = g\frac{2\pi n R}{v \sin\alpha} | ||
| $$ | $$ | ||
| Отсюда выражаем $v$: | Отсюда выражаем $v$: | ||
| $$ | $$ | ||
| \fbox{$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$} | \fbox{$v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ: | #### Ответ: | ||
| $v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$, где $n$ — любое натуральное число; при $\alpha = 0$ скорость может быть любой по модулю. | $v=\sqrt{2\pi Rgn/\sin2\alpha}$, где $n$ — любое натуральное число; при $\alpha = 0$ скорость может быть любой по модулю. | ||
| unchanged lines 39 | |||