Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/10.1.12.md
+42 −7
| @@ -1,16 +1,51 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $10.1.12 | ||
| + | $10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки | ||
| + | со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный | ||
| + | поперечный размер, и оцените его. | ||
| ### Решение | |||
| + | Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10. | ||
| − |  | ||
| + | Движение каждой частицы будет | ||
| + | происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. | ||
| + | Причем все спирали не будут соосны, а будут | ||
| + | касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все | ||
| + | траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг (Допущение 1), | ||
| + | поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект | ||
| + | фокусировки частиц. | ||
| − | |||
| − | со скоростью v вылетают электроны, имея малый угловой разброс δα. Опреде- | ||
| − | лите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный | ||
| − | поперечный размер, и оцените его. | ||
| + | Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси | ||
| + | пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности | ||
| + | $ϕ = \frac{2πt}{T}$ (T- циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_evsin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2Rsin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим: | ||
| + | $r=\mid2\frac{m_evsin\beta}{eB}sin\frac{2\pi x}{2Tvcos\beta}\mid=\mid2\frac{m_evsin\beta}{eB}sin\frac{eBx}{2m_evcos\beta}\mid$ (1) | ||
| + | |||
| + | $\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $cos\beta\approx1$, $sin\beta\approx\beta$ (Допущение 2) | ||
| + | |||
| + | Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция | ||
| + | зависимости радиуса пучка от координаты x имеет вид | ||
| + | |||
| + | $r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB}\mid sin(\frac{eBx}{2mv})\mid$ (2) | ||
| + | |||
| + | Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы: | ||
| + | |||
| + | $x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N$ (3) | ||
| + | |||
| + | Заметим, что при малых $k$ Допушение 1 работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$ | ||
| + | |||
| + | Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть | ||
| + | зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в Допушение 2 уточнение для косинуса: $cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение 3), и перепишем уравнение (1) для области фокуса: | ||
| + | |||
| + | $r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid sin(\frac{eBx_f}{2m_ev(1-\frac{\beta^2}{2})})\mid=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid sin(\frac{\pi}{1-\frac{\beta^2}{2}})\mid$ (4) | ||
| + | Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу | ||
| + | вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой | ||
| + | |||
| + | $r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha))}{eB}\mid sin(\frac{\pi}{1-\frac{\delta\alpha^2}{8}})\mid\approx\frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $x_f = \frac{2πm_ev}{eB}, r_{max} = \frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$ | ||
| @@ -1,16 +1,51 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $10.1.12 |
$10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки | ||
| со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный | |||
| поперечный размер, и оцените его. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей 10.1.10. | |||
|  | |||
| Движение каждой частицы будет | |||
| происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. | |||
| Причем все спирали не будут соосны, а будут | |||
| касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все | |||
| траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг (Допущение 1), | |||
| поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект | |||
| фокусировки частиц. | |||
| Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси | |||
| со скоростью v вылетают электроны, имея малый угловой разброс δα. Опреде- | пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности | ||
| лите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный | $ϕ = \frac{2πt}{T}$ (T- циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_evsin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2Rsin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим: | ||
| поперечный размер, и оцените его. | |||
| $r=\mid2\frac{m_evsin\beta}{eB}sin\frac{2\pi x}{2Tvcos\beta}\mid=\mid2\frac{m_evsin\beta}{eB}sin\frac{eBx}{2m_evcos\beta}\mid$ (1) | |||
| $\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $cos\beta\approx1$, $sin\beta\approx\beta$ (Допущение 2) | |||
| Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция | |||
| зависимости радиуса пучка от координаты x имеет вид | |||
| $r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB}\mid sin(\frac{eBx}{2mv})\mid$ (2) | |||
| Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы: | |||
| $x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N$ (3) | |||
| Заметим, что при малых $k$ Допушение 1 работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$ | |||
| Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть | |||
| зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в Допушение 2 уточнение для косинуса: $cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение 3), и перепишем уравнение (1) для области фокуса: | |||
| $r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid sin(\frac{eBx_f}{2m_ev(1-\frac{\beta^2}{2})})\mid=\frac{2m_ev\beta}{eB}\mid sin(\frac{\pi}{1-\frac{\beta^2}{2}})\mid$ (4) | |||
| Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу | |||
| вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой | |||
| $r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha))}{eB}\mid sin(\frac{\pi}{1-\frac{\delta\alpha^2}{8}})\mid\approx\frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $x_f = \frac{2πm_ev}{eB}, r_{max} = \frac{πm_ev(δα)^3}{8eB}$ | ||