Edit to “Решение”
ru/10.1.12.md
+4 −4
| ### Условие | |||
| $10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его. | |||
| ### Решение | |||
| Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей [10.1.10](https://savchenkosolutions.com/ru/10.1.10). | |||
| Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18" | |||
|  | |||
| Движение каждой частицы будет происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. Причем все спирали не будут соосны, а будут касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг $(Допущение \ 1)$, поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект фокусировки частиц. | |||
| @@ -14,13 +14,13 @@Решение | |||
| Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности $ϕ = \frac{2πt}{T}$ ($T$ - циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_ev\sin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2R\sin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt \cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим: | |||
| − | $$r= | ||
| + | $$r=\left|2\frac{m_ev\sin\beta}{eB}\sin\frac{2\pi x}{2Tv\cos\beta}\right|=\left|2\frac{m_ev\sin\beta}{eB}\sin\frac{eBx}{2m_ev\cos\beta}\right|\tag{1}$$ | ||
| $\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $\cos\beta\approx1$, $\sin\beta\approx\beta$ $(Допущение \ 2)$ | |||
| Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция зависимости радиуса пучка от координаты $x$ имеет вид | |||
| − | $$r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB} | ||
| + | $$r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB}\left| \sin\left(\frac{eBx}{2mv}\right)\right|\tag{2}$$ | ||
| Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы: | |||
| $$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N \tag{3}$$ | |||
| Заметим, что при малых $k$ $Допущение \ 1$ работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$ | |||
| @@ -30,11 +30,11 @@Решение | |||
| Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в $Допущение \ 2$ уточнение для косинуса: $\cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение $3$), и перепишем уравнение $(1)$ для области фокуса: | |||
| − | $$r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB} | ||
| + | $$r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB}\left| \sin\left(\frac{eBx_f}{2m_ev(1-\frac{\beta^2}{2})}\right)\right|=\frac{2m_ev\beta}{eB}\left| \sin\left(\frac{\pi}{1-\frac{\beta^2}{2}}\right)\right|\tag{4}$$ | ||
| Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой | |||
| − | $$r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha)}{eB} | ||
| + | $$r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha)}{eB}\left| \sin\left(\frac{\pi}{1-\frac{\delta\alpha^2}{8}}\right)\right|\tag{5}$$ | ||
| Это выражение можно упростить, используя малость ($2$ порядка!) угла $\frac{\delta\alpha^2}{8}$, выражение для синуса суммы и $Допущение \ 2$: | |||
| $$ | |||
| \left(1-\frac{\delta\alpha^2}{8}\right)^{-1}\approx1+\frac{\delta\alpha^2}{8}$$ | |||
| $$\sin\left(\pi+\frac{\pi(\delta\alpha )^2}{8}\right)=sin\left(\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{8}\right)\approx\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{8} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| d=2r=\frac{πm_ev(δα)^3}{4eB} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| x_f = \frac{2πm_ev}{eB};\qquad d = \frac{πm_ev(δα)^3}{4eB} | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 11 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его. | $10.1.12^*$ Вдоль однородного магнитного поля индукции $B$ из одной точки со скоростью $v$ вылетают электроны, имея малый угловой разброс $δα$. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей [10.1.10](https://savchenkosolutions.com/ru/10.1.10). | Перед решением этой задачи рекомендую ознакомится с задачей [10.1.10](https://savchenkosolutions.com/ru/10.1.10). | ||
| Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18" | Иллюстрация и идея решения взята из издания "Слободянюк А.И. «Очень длинные физические задачи» Часть 2. Задачи 10 – 18" | ||
|  |  | ||
| Движение каждой частицы будет происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. Причем все спирали не будут соосны, а будут касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг $(Допущение \ 1)$, поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект фокусировки частиц. | Движение каждой частицы будет происходить по винтовой линии, радиус которой зависит от угла вылета частицы. Причем все спирали не будут соосны, а будут касаться одной прямой - оси пучка. Если угол вылета частиц к вектору магнитной индукции мал, то все траектории-спирали будут иметь приблизительно одинаковый шаг $(Допущение \ 1)$, поэтому на расстоянии шага спирали будет наблюдаться эффект фокусировки частиц. | ||
| @@ -14,13 +14,13 @@Решение | |||
| Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности $ϕ = \frac{2πt}{T}$ ($T$ - циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_ev\sin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2R\sin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt \cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим: | Рассмотрим группу частиц вылетевших под одинаковыми углами $\beta$ к оси пучка. За некоторый промежуток времени t они пройдут дугу окружности $ϕ = \frac{2πt}{T}$ ($T$ - циклотронный период) радиуса $R=\frac{m_ev\sin\beta}{eB}$, удалятся от оси пучка на расстояние $r=\mid2R\sin\frac{\varphi}{2}\mid$ и сместятся на расстояние $x = vt \cos\beta$ вдоль этой оси. Из этого получим: | ||
| $$r= |
$$r=\left|2\frac{m_ev\sin\beta}{eB}\sin\frac{2\pi x}{2Tv\cos\beta}\right|=\left|2\frac{m_ev\sin\beta}{eB}\sin\frac{eBx}{2m_ev\cos\beta}\right|\tag{1}$$ | ||
| $\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $\cos\beta\approx1$, $\sin\beta\approx\beta$ $(Допущение \ 2)$ | $\beta\leq\frac{δα}{2}$, угол $δα$ малый, значит $\cos\beta\approx1$, $\sin\beta\approx\beta$ $(Допущение \ 2)$ | ||
| Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция зависимости радиуса пучка от координаты $x$ имеет вид | Ширина пучка будет определяться частицами, вылетевшими под максимальным углом $\beta=\frac{\delta\alpha}{2}$, то есть функция зависимости радиуса пучка от координаты $x$ имеет вид | ||
| $$r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB} |
$$r(x)=\frac{mv(\delta\alpha)}{eB}\left| \sin\left(\frac{eBx}{2mv}\right)\right|\tag{2}$$ | ||
| Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы: | Минимумам данной функции соответствуют "фокусные расстояния" системы: | ||
| $$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N \tag{3}$$ | $$x_f=\frac{2\pi mv}{eB}k, k\in N \tag{3}$$ | ||
| Заметим, что при малых $k$ $Допущение \ 1$ работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$ | Заметим, что при малых $k$ $Допущение \ 1$ работает лучше (см. рис.), поэтому в ответ записываем значение при $k=1$ | ||
| @@ -30,11 +30,11 @@Решение | |||
| Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в $Допущение \ 2$ уточнение для косинуса: $\cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение $3$), и перепишем уравнение $(1)$ для области фокуса: | Для определения ширины пучка в области фокуса необходимо учесть зависимость продольной компоненты скорости от угла вылета. Для этого внесем в $Допущение \ 2$ уточнение для косинуса: $\cos\beta\approx1-\frac{\beta^2}{2}$ (Допущение $3$), и перепишем уравнение $(1)$ для области фокуса: | ||
| $$r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB} |
$$r(x)=\frac{2m_ev\beta}{eB}\left| \sin\left(\frac{eBx_f}{2m_ev(1-\frac{\beta^2}{2})}\right)\right|=\frac{2m_ev\beta}{eB}\left| \sin\left(\frac{\pi}{1-\frac{\beta^2}{2}}\right)\right|\tag{4}$$ | ||
| Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой | Максимальное значение этой функции соответствует максимальному углу вылета, поэтому ширина пучка определяется формулой | ||
| $$r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha)}{eB} |
$$r_{max}=\frac{m_ev(\delta\alpha)}{eB}\left| \sin\left(\frac{\pi}{1-\frac{\delta\alpha^2}{8}}\right)\right|\tag{5}$$ | ||
| Это выражение можно упростить, используя малость ($2$ порядка!) угла $\frac{\delta\alpha^2}{8}$, выражение для синуса суммы и $Допущение \ 2$: | Это выражение можно упростить, используя малость ($2$ порядка!) угла $\frac{\delta\alpha^2}{8}$, выражение для синуса суммы и $Допущение \ 2$: | ||
| $$ | $$ | ||
| \left(1-\frac{\delta\alpha^2}{8}\right)^{-1}\approx1+\frac{\delta\alpha^2}{8}$$ | \left(1-\frac{\delta\alpha^2}{8}\right)^{-1}\approx1+\frac{\delta\alpha^2}{8}$$ | ||
| $$\sin\left(\pi+\frac{\pi(\delta\alpha )^2}{8}\right)=sin\left(\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{8}\right)\approx\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{8} | $$\sin\left(\pi+\frac{\pi(\delta\alpha )^2}{8}\right)=sin\left(\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{8}\right)\approx\frac{\pi(\delta\alpha)^2}{8} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| d=2r=\frac{πm_ev(δα)^3}{4eB} | d=2r=\frac{πm_ev(δα)^3}{4eB} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| x_f = \frac{2πm_ev}{eB};\qquad d = \frac{πm_ev(δα)^3}{4eB} | x_f = \frac{2πm_ev}{eB};\qquad d = \frac{πm_ev(δα)^3}{4eB} | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 11 | |||