Edits to “Условие”, “Решение”, “Предварительные сведения”

igor edited Feb 10, 2026, 9:40 AM

View solution History

revision #16058 parent #16057 ← older newer →

ru/11.4.19.md +72 −3

		@@ -1,11 +1,80 @@
			### Условие

		−	$11.4.19.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$11.4.19.$ Электрическая цепь, состоящая из двух катушек индуктивности и лампочки, подключена к генератору переменного напряжения. Если в одну из катушек вдвинуть железный сердечник, то свечение лампочки усиливается, если же сердечник вдвинуть во вторую катушку, то свечение лампочки ослабевает. Составьте схему возможной электрической цепи.

		+
			### Решение

		−	11

		+	#### Предварительные сведения
		+
		+
		+	Сделаем упрощающие оговорки. Пусть внутреннее сопротивление генератора нулевое. Лампочку посчитаем активным сопротивлением $R$, а у катушек будем считать активное сопротивление нулевым (их индуктивности $L_1$ и $L_2$).
		+
		+	Комплексное сопротивление катушки:
		+
		+	$$
		+	Z_L=i\omega L,
		+	$$
		+
		+	где $\omega$ есть угловая частота переменного тока, $L$ есть индуктивность катушки.
		+
		+	Индуктивность катушки обычно считают прямо пропорциональной магнитной проницаемости $\mu$ вещества внутри катушки [1, 2]
		+
		+	$$
		+	L\sim\mu,
		+	$$
		+
		+	так как магнитная индукция внутри катушки также прямо пропорциональна $\mu$ при фиксированном токе.
		+
		+	Из сказанного заметим, что комплексное сопротивление катушки будет пропорциональным $\mu$:
		+
		+	$$
		+	\boxed{Z_L\sim\mu.}
		+	$$
		+
		+	Значит, вдвигание сердечника означает увеличение сопротивления катушки переменному току.
		+
		+
		+	#### Построение схемы
		+
		+
		+	Допустим, что индуктивности катушек одинаковы. Из несимметрии влияния на лампу двух вдвиганий сердечника можно подтвердить, что и схема цепи не должна обладать симметрией. То есть катушки соединены ни последовательно, ни параллельно.
		+
		+	Далее есть еще две возможности. Первая возможность: одна катушка соединена с лампой последовательно, другая подсоединена к ним параллельно; но в таком случае ток через лампу не зависит от сопротивления одной из катушек, что противоречит условию.
		+
		+	Рассмотрим вторую возможность. Схема цепи на рисунке ниже.
		+
		+	![\|704x277, 100%](../../img/11.4.19/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-02-10 120632.png)
		+
		+	Мы имеем цепь, где, например, к первой катушке подсоединен блок, в котором параллельно соединены вторая катушка и лампа.
		+
		+	Запишем выражение для комплексного сопротивления этой цепи:
		+
		+	$$
		+	Z=Z_{L1}+\frac{Z_{L2}R}{Z_{L2}+R}.\tag{1}
		+	$$
		+
		+	При увеличении сопротивления первой катушки $Z_{L1}$ (вдвигание сердечника) сопротивление цепи действительно однозначно увеличивается, то есть свечение лампы уменьшается.
		+
		+	Но не просто предсказать, как увеличение сопротивления второй катушки $Z_{L2}$ повлияет на общее сопротивление (вспомните, к примеру, про резонанс в колебательном контуре).
		+
		+	Однако, не занимаясь анализом ситуации с увеличением сопротивления второй катушки, можно положить, что $L_1\gg L_2$, а также $Z_{L2}$ порядка $R$. Тогда получаем следующее.
		+
		+	1. При увеличении $Z_{L1}$ сопротивление цепи растет, лампа гаснет.
		+
		+	2. При увеличении $Z_{L2}$ сопротивление цепи практически не меняется. Ток цепи остается почти неизменным. Но сопротивление параллельного участка растет (см. дробное слагаемое в формуле $(1)$). Это ведет к росту напряжения на параллельном участке и, соответственно, росту тока через лампу. Лампа разгорается.
		+
		+
		+	#### Литература
		+
		+
		+	[1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 1998, №4.
		+
		+	[2] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3.
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+
		+	К первой катушке подсоединен блок, в котором параллельно соединены вторая катушка и лампа. Для объяснения удобно положить, что индуктивность первой катушки много больше индуктивности второй.

	@@ -1,11 +1,80 @@
	### Условие		### Условие

	$11.4.19.$ [Вставьте условие задачи]		$11.4.19.$ Электрическая цепь, состоящая из двух катушек индуктивности и лампочки, подключена к генератору переменного напряжения. Если в одну из катушек вдвинуть железный сердечник, то свечение лампочки усиливается, если же сердечник вдвинуть во вторую катушку, то свечение лампочки ослабевает. Составьте схему возможной электрической цепи.


	### Решение		### Решение

	11

			#### Предварительные сведения


			Сделаем упрощающие оговорки. Пусть внутреннее сопротивление генератора нулевое. Лампочку посчитаем активным сопротивлением $R$, а у катушек будем считать активное сопротивление нулевым (их индуктивности $L_1$ и $L_2$).

			Комплексное сопротивление катушки:

			$$
			Z_L=i\omega L,
			$$

			где $\omega$ есть угловая частота переменного тока, $L$ есть индуктивность катушки.

			Индуктивность катушки обычно считают прямо пропорциональной магнитной проницаемости $\mu$ вещества внутри катушки [1, 2]

			$$
			L\sim\mu,
			$$

			так как магнитная индукция внутри катушки также прямо пропорциональна $\mu$ при фиксированном токе.

			Из сказанного заметим, что комплексное сопротивление катушки будет пропорциональным $\mu$:

			$$
			\boxed{Z_L\sim\mu.}
			$$

			Значит, вдвигание сердечника означает увеличение сопротивления катушки переменному току.


			#### Построение схемы


			Допустим, что индуктивности катушек одинаковы. Из несимметрии влияния на лампу двух вдвиганий сердечника можно подтвердить, что и схема цепи не должна обладать симметрией. То есть катушки соединены ни последовательно, ни параллельно.

			Далее есть еще две возможности. Первая возможность: одна катушка соединена с лампой последовательно, другая подсоединена к ним параллельно; но в таком случае ток через лампу не зависит от сопротивления одной из катушек, что противоречит условию.

			Рассмотрим вторую возможность. Схема цепи на рисунке ниже.

			![\|704x277, 100%](../../img/11.4.19/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-02-10 120632.png)

			Мы имеем цепь, где, например, к первой катушке подсоединен блок, в котором параллельно соединены вторая катушка и лампа.

			Запишем выражение для комплексного сопротивления этой цепи:

			$$
			Z=Z_{L1}+\frac{Z_{L2}R}{Z_{L2}+R}.\tag{1}
			$$

			При увеличении сопротивления первой катушки $Z_{L1}$ (вдвигание сердечника) сопротивление цепи действительно однозначно увеличивается, то есть свечение лампы уменьшается.

			Но не просто предсказать, как увеличение сопротивления второй катушки $Z_{L2}$ повлияет на общее сопротивление (вспомните, к примеру, про резонанс в колебательном контуре).

			Однако, не занимаясь анализом ситуации с увеличением сопротивления второй катушки, можно положить, что $L_1\gg L_2$, а также $Z_{L2}$ порядка $R$. Тогда получаем следующее.

			1. При увеличении $Z_{L1}$ сопротивление цепи растет, лампа гаснет.

			2. При увеличении $Z_{L2}$ сопротивление цепи практически не меняется. Ток цепи остается почти неизменным. Но сопротивление параллельного участка растет (см. дробное слагаемое в формуле $(1)$). Это ведет к росту напряжения на параллельном участке и, соответственно, росту тока через лампу. Лампа разгорается.


			#### Литература


			[1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 1998, №4.

			[2] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3.


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
			К первой катушке подсоединен блок, в котором параллельно соединены вторая катушка и лампа. Для объяснения удобно положить, что индуктивность первой катушки много больше индуктивности второй.