| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.4.19.$ Электрическая цепь, состоящая из двух катушек индуктивности и лампочки, подключена к генератору переменного напряжения. Если в одну из катушек вдвинуть железный сердечник, то свечение лампочки усиливается, если же сердечник вдвинуть во вторую катушку, то свечение лампочки ослабевает. Составьте схему возможной электрической цепи. | | $11.4.19.$ Электрическая цепь, состоящая из двух катушек индуктивности и лампочки, подключена к генератору переменного напряжения. Если в одну из катушек вдвинуть железный сердечник, то свечение лампочки усиливается, если же сердечник вдвинуть во вторую катушку, то свечение лампочки ослабевает. Составьте схему возможной электрической цепи. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| #### Предварительные сведения | | #### Предварительные сведения |
| | | |
| | | |
| Сделаем упрощающие оговорки. Пусть внутреннее сопротивление генератора нулевое. Лампочку посчитаем активным сопротивлением $R$, а у катушек будем считать активное сопротивление нулевым (их индуктивности $L_1$ и $L_2$). | | Сделаем упрощающие оговорки. Пусть внутреннее сопротивление генератора нулевое. Лампочку посчитаем активным сопротивлением $R$, а у катушек будем считать активное сопротивление нулевым (их индуктивности $L_1$ и $L_2$). |
| | | |
| Комплексное сопротивление катушки: | | Комплексное сопротивление катушки: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Z_L=i\omega L, | | Z_L=i\omega L, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\omega$ есть угловая частота переменного тока, $L$ есть индуктивность катушки. | | где $\omega$ есть угловая частота переменного тока, $L$ есть индуктивность катушки. |
| | | |
| Индуктивность катушки обычно считают прямо пропорциональной магнитной проницаемости $\mu$ вещества внутри катушки [1, 2] | | Индуктивность катушки обычно считают прямо пропорциональной магнитной проницаемости $\mu$ вещества внутри катушки [1, 2] |
| | | |
| $$ | | $$ |
| L\sim\mu, | | L\sim\mu, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| так как магнитная индукция внутри катушки также прямо пропорциональна $\mu$ при фиксированном токе. | | так как магнитная индукция внутри катушки также прямо пропорциональна $\mu$ при фиксированном токе. |
| | | |
| Из сказанного заметим, что комплексное сопротивление катушки будет пропорциональным $\mu$: | | Из сказанного заметим, что комплексное сопротивление катушки будет пропорциональным $\mu$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{Z_L\sim\mu.} | | \boxed{Z_L\sim\mu.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Значит, вдвигание сердечника означает увеличение сопротивления катушки переменному току. | | Значит, вдвигание сердечника означает увеличение сопротивления катушки переменному току. |
| | | |
| | | |
| #### Построение схемы | | #### Построение схемы |
| | | |
| | | |
| Допустим, что индуктивности катушек одинаковы. Из несимметрии влияния на лампу двух вдвиганий сердечника можно подтвердить, что и схема цепи не должна обладать симметрией. То есть катушки соединены ни последовательно, ни параллельно. | | Допустим, что индуктивности катушек одинаковы. Из несимметрии влияния на лампу двух вдвиганий сердечника можно подтвердить, что и схема цепи не должна обладать симметрией. То есть катушки соединены ни последовательно, ни параллельно. |
| | | |
| Далее есть еще две возможности. Первая возможность: одна катушка соединена с лампой последовательно, другая подсоединена к ним параллельно; но в таком случае ток через лампу не зависит от сопротивления одной из катушек, что противоречит условию. | | Далее есть еще две возможности. Первая возможность: одна катушка соединена с лампой последовательно, другая подсоединена к ним параллельно; но в таком случае ток через лампу не зависит от сопротивления одной из катушек, что противоречит условию. |
| | | |
| Рассмотрим вторую возможность. Схема цепи на рисунке ниже. | | Рассмотрим вторую возможность. Схема цепи на рисунке ниже. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Мы имеем цепь, где, например, к первой катушке подсоединен блок, в котором параллельно соединены вторая катушка и лампа. | | Мы имеем цепь, где, например, к первой катушке подсоединен блок, в котором параллельно соединены вторая катушка и лампа. |
| | | |
| Запишем выражение для комплексного сопротивления этой цепи: | | Запишем выражение для комплексного сопротивления этой цепи: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Z=Z_{L1}+\frac{Z_{L2}R}{Z_{L2}+R}.\tag{1} | | Z=Z_{L1}+\frac{Z_{L2}R}{Z_{L2}+R}.\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| При увеличении сопротивления первой катушки $Z_{L1}$ (вдвигание сердечника) сопротивление цепи действительно однозначно увеличивается, то есть свечение лампы уменьшается. | | При увеличении сопротивления первой катушки $Z_{L1}$ (вдвигание сердечника) сопротивление цепи действительно однозначно увеличивается, то есть свечение лампы уменьшается. |
| | | |
| Но не просто предсказать, как увеличение сопротивления второй катушки $Z_{L2}$ повлияет на общее сопротивление (вспомните, к примеру, про резонанс в колебательном контуре). | | Но не просто предсказать, как увеличение сопротивления второй катушки $Z_{L2}$ повлияет на общее сопротивление (вспомните, к примеру, про резонанс в колебательном контуре). |
| | | |
| Однако, не занимаясь анализом ситуации с увеличением сопротивления второй катушки, можно положить, что $L_1\gg L_2$, а также $Z_{L2}$ порядка $R$. Тогда получаем следующее. | | Однако, не занимаясь анализом ситуации с увеличением сопротивления второй катушки, можно положить, что $L_1\gg L_2$, а также $Z_{L2}$ порядка $R$. Тогда получаем следующее. |
| | | |
| 1. При увеличении $Z_{L1}$ сопротивление цепи растет, лампа гаснет. | | 1. При увеличении $Z_{L1}$ сопротивление цепи растет, лампа гаснет. |
| | | |
| 2. При увеличении $Z_{L2}$ сопротивление цепи практически не меняется. Ток цепи остается почти неизменным. Но сопротивление параллельного участка растет (см. дробное слагаемое в формуле $(1)$). Это ведет к росту напряжения на параллельном участке и, соответственно, росту тока через лампу. Лампа разгорается. | | 2. При увеличении $Z_{L2}$ сопротивление цепи практически не меняется. Ток цепи остается почти неизменным. Но сопротивление параллельного участка растет (см. дробное слагаемое в формуле $(1)$). Это ведет к росту напряжения на параллельном участке и, соответственно, росту тока через лампу. Лампа разгорается. |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| | | |
| [1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 1998, №4. | | [1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 1998, №4. |
| | | |
| [2] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. | | [2] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. |
| | | |
| | | |
