$1.3.16^*.$ В трубу длины $l$, наклоненную под углом $\alpha$ к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью $v$. Определите время пребывания шарика в трубе, если удары шарика о ее стенки упругие.
### Решение:
a) Найдем условие, при котором соудареня будут отсутсвовать$(x=0)$
Из закона сохранения энергии:
$$
\frac{mv_0^2}{2} = mgl \cdot\sin\alpha
$$
$$
v_{0}\leq\frac{\sqrt{2gl\sin\alpha}}{\cos\alpha}
$$
В этом случае пройдет время
$$
t = \frac{2v_0}{g}\text{ctg}\alpha
$$
b) Теперь рассмотрим те случаи, когда происходит касание:
$$
v_{0}>\frac{\sqrt{2gl\sin\alpha}}{\cos\alpha}
$$
Путь между двумя касаниями:
$$
L=v_{0}\cos\alpha t-\frac{g\sin\alpha t^{2}}{2}
$$
При получении необходимого времени выбираем именно тот, который меньший, т.к. необходимо найти время когда он выйдет
$\begin{aligned}&t=\frac{2v}{g}\operatorname{ctg}\alpha\text{ при }v\cos\alpha <\sqrt{2gl\sin\alpha};\\\&t=\frac vg\operatorname{ctg}\alpha\bigg(1-\sqrt{1-\frac{2gl\operatorname{tg}\alpha}{v^2\cos\alpha}}\bigg)\text{ при }v\cos\alpha >\sqrt{2gl\sin\alpha}.\end{aligned}$
### Условие:
### Условие:
$1.3.16^*.$ В трубу длины $l$, наклоненную под углом $\alpha$ к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью $v$. Определите время пребывания шарика в трубе, если удары шарика о ее стенки упругие.
$1.3.16^*.$ В трубу длины $l$, наклоненную под углом $\alpha$ к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью $v$. Определите время пребывания шарика в трубе, если удары шарика о ее стенки упругие.
### Решение:
### Решение:
a) Найдем условие, при котором соудареня будут отсутсвовать$(x=0)$
a) Найдем условие, при котором соудареня будут отсутсвовать$(x=0)$
Из закона сохранения энергии:
Из закона сохранения энергии:
$$
$$
\frac{mv_0^2}{2} = mgl \cdot\sin\alpha
\frac{mv_0^2}{2} = mgl \cdot\sin\alpha
$$
$$
$$
$$
v_{0}\leq\frac{\sqrt{2gl\sin\alpha}}{\cos\alpha}
v_{0}\leq\frac{\sqrt{2gl\sin\alpha}}{\cos\alpha}
$$
$$
В этом случае пройдет время
В этом случае пройдет время
$$
$$
t = \frac{2v_0}{g}\text{ctg}\alpha
t = \frac{2v_0}{g}\text{ctg}\alpha
$$
$$
b) Теперь рассмотрим те случаи, когда происходит касание:
b) Теперь рассмотрим те случаи, когда происходит касание:
$$
$$
v_{0}>\frac{\sqrt{2gl\sin\alpha}}{\cos\alpha}
v_{0}>\frac{\sqrt{2gl\sin\alpha}}{\cos\alpha}
$$
$$
Путь между двумя касаниями:
Путь между двумя касаниями:
$$
$$
L=v_{0}\cos\alpha t-\frac{g\sin\alpha t^{2}}{2}
L=v_{0}\cos\alpha t-\frac{g\sin\alpha t^{2}}{2}
$$
$$
При получении необходимого времени выбираем именно тот, который меньший, т.к. необходимо найти время когда он выйдет
При получении необходимого времени выбираем именно тот, который меньший, т.к. необходимо найти время когда он выйдет
$\begin{aligned}&t=\frac{2v}{g}\operatorname{ctg}\alpha\text{ при }v\cos\alpha <\sqrt{2gl\sin\alpha};\\\&t=\frac vg\operatorname{ctg}\alpha\bigg(1-\sqrt{1-\frac{2gl\operatorname{tg}\alpha}{v^2\cos\alpha}}\bigg)\text{ при }v\cos\alpha >\sqrt{2gl\sin\alpha}.\end{aligned}$
$\begin{aligned}&t=\frac{2v}{g}\operatorname{ctg}\alpha\text{ при }v\cos\alpha <\sqrt{2gl\sin\alpha};\\\&t=\frac vg\operatorname{ctg}\alpha\bigg(1-\sqrt{1-\frac{2gl\operatorname{tg}\alpha}{v^2\cos\alpha}}\bigg)\text{ при }v\cos\alpha >\sqrt{2gl\sin\alpha}.\end{aligned}$
