Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:
\begin{gather*}
I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\
I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
\end{gather*}
где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)
Из $(3)$:
$$
I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
$$
Из $(2)$:
$$
@@ -32,7 +32,7 @@Цепь а
I_L=C
$$
−
где $C$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $C=I_{L0}$, значит:
+
где $C$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $C=I_{L0}$ [1]. Значит:
$$
I_L=I_{L0}.
$$
Из $(1)$:
$$
I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.
$$
Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]:
$$
P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
$$
где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.
Тогда
$$
P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
$$
#### Цепь б
Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:
где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1])
I_1=\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\mathscr E_0\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t.
$$
Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:
$$
P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
$$
где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.
Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:
Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:
\begin{gather*}
\begin{gather*}
I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\
L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\
I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
\end{gather*}
\end{gather*}
где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)
где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)
Из $(3)$:
Из $(3)$:
$$
$$
I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
$$
$$
Из $(2)$:
Из $(2)$:
$$
$$
@@ -32,7 +32,7 @@Цепь а
I_L=C
I_L=C
$$
$$
где $C$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $C=I_{L0}$, значит:
где $C$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $C=I_{L0}$ [1]. Значит:
$$
$$
I_L=I_{L0}.
I_L=I_{L0}.
$$
$$
Из $(1)$:
Из $(1)$:
$$
$$
I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.
I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.
$$
$$
Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]:
Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]:
$$
$$
P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
$$
$$
где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.
где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.
Тогда
Тогда
$$
$$
P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
$$
$$
#### Цепь б
#### Цепь б
Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:
Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:
где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1])
где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1])
I_1=\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\mathscr E_0\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t.
I_1=\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\mathscr E_0\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t.
$$
$$
Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:
Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:
$$
$$
P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
$$
$$
где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.
где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.
