| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное? | | $14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется оберрацией света [1, 2]. | | Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется оберрацией света [1, 2]. |
| | | |
| | | |
| #### Элементарный подход | | #### Элементарный подход |
| | | |
| Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок). | | Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок). |
| | | |
| Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной. | | Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной. |
| | | |
| Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца. По закону сложения скоростей в теории относительности [3]: | | Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца. По закону сложения скоростей в теории относительности [3]: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+2v}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}, | | с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+2v}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}, |
| \quad | | \quad |
| с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}. | | с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $c$ есть скорость света, $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$. | | где $c$ есть скорость света, $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$. |
| | | |
| Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$. С учетом $k=v/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-4v^2/c^2}\approx1$. Получаем | | Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$. С учетом $k=v/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-4v^2/c^2}\approx1$. Получаем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \cos\alpha=\frac{\cos\beta+2k}{1+2k\cos\beta},\quad | | \cos\alpha=\frac{\cos\beta+2k}{1+2k\cos\beta},\quad |
| % | | % |
| \sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+2k\cos\beta}. | | \sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+2k\cos\beta}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей: | | Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sin\alpha\cos\beta+2k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha. | | \sin\alpha\cos\beta+2k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее: | | Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sin(\beta-\alpha)=2k\sin\alpha. | | \sin(\beta-\alpha)=2k\sin\alpha. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что: | | Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \sin\Delta=2k\sin\alpha. | | \sin\Delta=2k\sin\alpha. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Правая часть мала, поэтому | | Правая часть мала, поэтому |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.} | | \boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Получен ответ в элементарной форме. | | Получен ответ в элементарной форме. |
| | | |
| | | |
| #### Неэлементарный подход | | #### Неэлементарный подход |
| | | |
| Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5]. | | Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5]. |
| | | |
| Сначала для удобства переобозначим системы отсчета. | | Сначала для удобства переобозначим системы отсчета. |
| | | |
| Посчитаем неподвижной(!) систему $K'$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды. | | Посчитаем неподвижной(!) систему $K'$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды. |
| | | |
| Подвижной(!) системой $K$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз. | | Подвижной(!) системой $K$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз. |
| | | |
| Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так: | | Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-2v}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}}, | | с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-2v}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}}, |
| \quad | | \quad |
| с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}}. | | с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$: | | Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \cos\beta=\frac{\cos\alpha-2k}{1-2k\cos\alpha},\quad | | \cos\beta=\frac{\cos\alpha-2k}{1-2k\cos\alpha},\quad |
| % | | % |
| \sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-4k^2}}{1-2k\cos\alpha}. | | \sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-4k^2}}{1-2k\cos\alpha}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для тангенса половинного угла | | Для тангенса половинного угла |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}. | | \tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить: | | Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.}\tag{1} | | \boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.}\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для нашей задачи это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла. | | Для нашей задачи это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла. |
| | | |
| Представим далее | | Представим далее |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \beta=\alpha+\Delta, | | \beta=\alpha+\Delta, |
| \quad | | \quad |
| B=\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}. | | B=\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде | | Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2}, | | \tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| можно от формулы $(1)$ прийти к | | можно от формулы $(1)$ прийти к |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2} | | \boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$ | | Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, | | \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, |
| \quad | | \quad |
| \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}, | | \tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| формулу $(2)$ приводим к | | формулу $(2)$ приводим к |
| | | |
| $$ | | $$ |
