Edit to “Неэлементарный подход”

igor edited Apr 13, 2026, 8:42 AM

View solution History

revision #17886 parent #17885 ← older newer →

ru/14.1.4.md +1 −1

			### Условие

			$14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное?

			![К задаче $14.1.4$\|1284x618, 100%](../../img/14.1.4/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-13 093429.png)


			### Решение

			Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется оберрацией света [1, 2].


			#### Элементарный подход

			Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок).

			Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной.

			Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца, все скорости лежат в плоскости $xy$. По закону сложения скоростей в теории относительности [3]:

			$$
			с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+2v}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}},
			\quad
			с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}.
			$$

			где $c$ есть скорость света, $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.

			Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$. С учетом $k=v/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-4v^2/c^2}\approx1$. Получаем

			$$
			\cos\alpha=\frac{\cos\beta+2k}{1+2k\cos\beta},
			\quad
			\sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+2k\cos\beta}.
			$$

			Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей:

			$$
			\sin\alpha\cos\beta+2k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.
			$$

			Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее:

			$$
			\sin(\beta-\alpha)=2k\sin\alpha.
			$$

			Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что:

			$$
			\sin\Delta=2k\sin\alpha.
			$$

			Правая часть мала, поэтому

			$$
			\boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.}
			$$

			Получен ответ в элементарной форме.


			#### Неэлементарный подход

			Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5].

			Сначала для удобства переобозначим системы отсчета.

			Посчитаем неподвижной(!) систему $K'$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды.

			Подвижной(!) системой $K$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз.

			Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так:

			$$
			с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-2v}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}},
			\quad
			с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}}.
			$$

			Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$:

			$$
			\cos\beta=\frac{\cos\alpha-2k}{1-2k\cos\alpha},
			\quad
			\sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-4k^2}}{1-2k\cos\alpha}.
			$$

			Для тангенса половинного угла

			$$
			\tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}.
			$$

			Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить:

			$$
			\boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.}\tag{1}
			$$

			Для нашей задачи это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла.

			Представим далее

			$$
			\beta=\alpha+\Delta,
			\quad
			B=\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.
			$$

			Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде

			$$
			\tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2},
			$$

			можно от формулы $(1)$ прийти к

			$$
			\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2}
			$$

			Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$

			$$
			\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
			\quad
			\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha},
			$$

			формулу $(2)$ приводим к

			$$
			\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{B+1}{B-1}+\cos\alpha},
			$$

		@@ -138,7 +138,7 @@Неэлементарный подход
			а с учетом $\frac{B+1}{B-1}\approx\frac{c}{v}$ из-за сильного неравенства $v\ll c$ получаем такое приближение

			$$
		−	\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha.}}
		+	\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}.}
			$$

			Так как имеем $c/v\gg\cos\alpha$ всегда, то

			$$
			\tan\frac{\Delta}{2}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha.
			$$

			Как видно, этот результат просто приводится к результату по элементарному подходу, так как из-за малости правой части $\tan\Delta/2\approx\Delta/2$.

			#### Литература

			[1] [Аберрация света.](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org.

			[2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114.

			[3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5.

			[4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org.

			[5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38.

			[6] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru.


			#### Ответ

			$$
			\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha\sim10^{-4}\sin\alpha,
			$$

			где $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца.
		unchanged lines 29