Edit to “Элементарный подход”

igor edited Apr 20, 2026, 6:05 AM

View solution History

revision #17925 parent #17888 ← older newer →

ru/14.1.4.md +26 −12

			### Условие

			$14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное?

			![К задаче $14.1.4$\|1284x618, 100%](../../img/14.1.4/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-13 093429.png)


			### Решение

			Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется аберрацией света [1, 2].


			#### Элементарный подход

			Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок).
		@@ -16,49 +16,63 @@Элементарный подход

			Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной.

		−	Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца, все скорости лежат в плоскости $xy$. ~~По закону сложения скоростей в теории относительности [3]:~~
		+	Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца, все скорости лежат в плоскости $xy$.

		+	Модуль скорости системы $K'$ относительно системы $K$ по СТО [3]:
		+
			$$
		−	с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+2v}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}},
		+	V=\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}},
		+	$$
		+
		+	где $c$ есть скорость света.
		+
		+	По закону сложения скоростей для падающего света в теории относительности:
		+
		+	$$
		+	с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+V}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}},
			\quad
		−	с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}.
		+	с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}},
			$$

		−	где $~~c$ есть скорость света, $~~\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.
		+	где $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.

		−	Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$. С учетом $k=v/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-4v^2/c^2}\approx1$. Получаем
		+	Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$. С учетом $k=V/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-V^2/c^2}\approx1$. Получаем

			$$
		−	\cos\alpha=\frac{\cos\beta+2k}{1+2k\cos\beta},
		+	\cos\alpha=\frac{\cos\beta+k}{1+k\cos\beta},
			\quad
		−	\sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+2k\cos\beta}.
		+	\sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+k\cos\beta}.
			$$

			Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей:

			$$
		−	\sin\alpha\cos\beta+2k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.
		+	\sin\alpha\cos\beta+k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.
			$$

			Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее:

			$$
		−	\sin(\beta-\alpha)=2k\sin\alpha.
		+	\sin(\beta-\alpha)=k\sin\alpha.
			$$

			Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что:

			$$
		−	\sin\Delta=2k\sin\alpha.
		+	\sin\Delta=k\sin\alpha.
			$$

			Правая часть мала, поэтому

			$$
		−	~~\boxed{\Delta~~=2\frac{v}{c}\sin\alpha.}
		+	\Delta=\frac{V}{c}\sin\alpha.
			$$

		−	~~Получен ответ в~~ элементарной форме.
		+	А для $V\approx2v$ получаем в элементарной форме
		+
		+	$$
		+	\boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.}
		+	$$


			#### Неэлементарный подход

			Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5].

			Сначала для удобства переобозначим системы отсчета.

			Посчитаем неподвижной(!) систему $K$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды.

			Подвижной(!) системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз.

			Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так:

			$$
			с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-2v}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}},
			\quad
			с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}}.
			$$

			Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$:

			$$
			\cos\beta=\frac{\cos\alpha-2k}{1-2k\cos\alpha},
			\quad
			\sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-4k^2}}{1-2k\cos\alpha}.
			$$

			Для тангенса половинного угла

			$$
			\tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}.
			$$

			Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить:

			$$
			\boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.}\tag{1}
			$$

			Для нашей задачи это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла.

			Представим далее

			$$
			\beta=\alpha+\Delta,
			\quad
			B=\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.
			$$

			Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде

			$$
			\tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2},
			$$

			можно от формулы $(1)$ прийти к

			$$
			\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2}
			$$

			Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$

			$$
			\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
			\quad
			\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha},
			$$

			формулу $(2)$ приводим к

			$$
			\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{B+1}{B-1}+\cos\alpha},
			$$

			а с учетом $\frac{B+1}{B-1}\approx\frac{c}{v}$ из-за сильного неравенства $v\ll c$ получаем такое приближение

			$$
			\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}.}
			$$

			Так как имеем $c/v\gg\cos\alpha$ всегда, то

			$$
			\tan\frac{\Delta}{2}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha.
			$$

			Как видно, этот результат просто приводится к результату по элементарному подходу, так как из-за малости правой части $\tan\Delta/2\approx\Delta/2$.

			#### Литература

			[1] [Аберрация света.](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org.

			[2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114.

			[3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5.

			[4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org.

			[5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38.

			[6] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru.


			#### Ответ

			$$
			\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha\sim10^{-4}\sin\alpha,
			$$

			где $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца.
		unchanged lines 109

	### Условие		### Условие

	$14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное?		$14.1.4^*.$ По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное?

	![К задаче $14.1.4$\|1284x618, 100%](../../img/14.1.4/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-13 093429.png)		![К задаче $14.1.4$\|1284x618, 100%](../../img/14.1.4/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-13 093429.png)


	### Решение		### Решение

	Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется аберрацией света [1, 2].		Явление изменения направления света при переходе от одной системы отсчета к другой называется аберрацией света [1, 2].


	#### Элементарный подход		#### Элементарный подход

	Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок).		Посчитаем неподвижной систему $K$, связанную с Землей, при приближении Земли к звезде (ситуация на рисунке). Ось $x$ этой системы направим против скорости $v$ Земли, ось $y$ — вниз (см. рисунок).
	@@ -16,49 +16,63 @@Элементарный подход

	Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной.		Подвижной системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она летит со скоростью $-v$. Ее оси направлены так же, как и у неподвижной.

	Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца, все скорости лежат в плоскости $xy$. ~~По закону сложения скоростей в теории относительности [3]:~~		Считаем, что Солнце не движется относительно звезды, $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца, все скорости лежат в плоскости $xy$.

			Модуль скорости системы $K'$ относительно системы $K$ по СТО [3]:

	$$		$$
	с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+2v}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}},		V=\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}},
			$$

			где $c$ есть скорость света.

			По закону сложения скоростей для падающего света в теории относительности:

			$$
			с\cos\alpha=\frac{с\cos\beta+V}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}},
	\quad		\quad
	с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta2v}{c^2}}.		с\sin\alpha=\frac{с\sin\beta\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{1+\frac{c\cos\beta\cdot V}{c^2}},
	$$		$$

	где $~~c$ есть скорость света, $~~\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.		где $\beta$ есть угол падения света в системе $K'$.

	Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$. С учетом $k=v/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-4v^2/c^2}\approx1$. Получаем		Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $V/c=k$. С учетом $k=V/c\ll1$ продолжим с точностью до малых первого порядка: $\sqrt{1-V^2/c^2}\approx1$. Получаем

	$$		$$
	\cos\alpha=\frac{\cos\beta+2k}{1+2k\cos\beta},		\cos\alpha=\frac{\cos\beta+k}{1+k\cos\beta},
	\quad		\quad
	\sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+2k\cos\beta}.		\sin\alpha=\frac{\sin\beta}{1+k\cos\beta}.
	$$		$$

	Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей:		Делим эти уравнения друг на друга и избавляемся от знаменателей:

	$$		$$
	\sin\alpha\cos\beta+2k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.		\sin\alpha\cos\beta+k\sin\alpha=\sin\beta\cos\alpha.
	$$		$$

	Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее:		Знаем из тригонометрии, что $\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$, поэтому переписываем предыдущее:

	$$		$$
	\sin(\beta-\alpha)=2k\sin\alpha.		\sin(\beta-\alpha)=k\sin\alpha.
	$$		$$

	Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что:		Искомый угол $\Delta=\beta-\alpha$, так что:

	$$		$$
	\sin\Delta=2k\sin\alpha.		\sin\Delta=k\sin\alpha.
	$$		$$

	Правая часть мала, поэтому		Правая часть мала, поэтому

	$$		$$
	~~\boxed{\Delta~~=2\frac{v}{c}\sin\alpha.}		\Delta=\frac{V}{c}\sin\alpha.
	$$		$$

	~~Получен ответ в~~ элементарной форме.		А для $V\approx2v$ получаем в элементарной форме

			$$
			\boxed{\Delta=2\frac{v}{c}\sin\alpha.}
			$$


	#### Неэлементарный подход		#### Неэлементарный подход

	Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5].		Однако, решение можно задумать через тангенсы, причем половинного угла [4, 5].

	Сначала для удобства переобозначим системы отсчета.		Сначала для удобства переобозначим системы отсчета.

	Посчитаем неподвижной(!) систему $K$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды.		Посчитаем неподвижной(!) систему $K$, связанную с Землей, при удалении(!) Земли от звезды.

	Подвижной(!) системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз.		Подвижной(!) системой $K'$ назовем систему, связанную с Землей, когда она приближается(!) к звезде. Оси систем направлены так же, как и в прошлый раз.

	Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так:		Тогда релятивистское сложение скоростей запишем так:

	$$		$$
	с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-2v}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}},		с\cos\beta=\frac{с\cos\alpha-2v}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}},
	\quad		\quad
	с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}}.		с\sin\beta=\frac{с\sin\alpha\sqrt{1-4\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{c\cos\alpha2v}{c^2}}.
	$$		$$

	Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$:		Делим обе части этих формул на $c$ и обозначаем $v/c=k$:

	$$		$$
	\cos\beta=\frac{\cos\alpha-2k}{1-2k\cos\alpha},		\cos\beta=\frac{\cos\alpha-2k}{1-2k\cos\alpha},
	\quad		\quad
	\sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-4k^2}}{1-2k\cos\alpha}.		\sin\beta=\frac{\sin\alpha\sqrt{1-4k^2}}{1-2k\cos\alpha}.
	$$		$$

	Для тангенса половинного угла		Для тангенса половинного угла

	$$		$$
	\tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}.		\tan\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}.
	$$		$$

	Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить:		Подсталяем предыдущие две формулы в нее и после несложных преобразований можно получить:

	$$		$$
	\boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.}\tag{1}		\boxed{\tan\frac{\beta}{2}=\tan\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.}\tag{1}
	$$		$$

	Для нашей задачи это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла.		Для нашей задачи это — формула для аберрации света через танегенсы половинного угла.

	Представим далее		Представим далее

	$$		$$
	\beta=\alpha+\Delta,		\beta=\alpha+\Delta,
	\quad		\quad
	B=\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.		B=\sqrt{\frac{1+2k}{1-2k}}.
	$$		$$

	Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде		Применяя представления и формулу тангенса суммы в виде

	$$		$$
	\tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2},		\tan\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\Delta}{2}\right)=\frac{\tan\alpha/2+\tan\Delta/2}{1-\tan\alpha/2\tan\Delta/2},
	$$		$$

	можно от формулы $(1)$ прийти к		можно от формулы $(1)$ прийти к

	$$		$$
	\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2}		\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\left(B-1\right)}{1+B\tan^2\frac{\alpha}{2}}.}\tag{2}
	$$		$$

	Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$		Используя теперь формулы для тангенсов половинного угла $\alpha$

	$$		$$
	\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},		\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
	\quad		\quad
	\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha},		\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha},
	$$		$$

	формулу $(2)$ приводим к		формулу $(2)$ приводим к

	$$		$$
	\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{B+1}{B-1}+\cos\alpha},		\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{B+1}{B-1}+\cos\alpha},
	$$		$$

	а с учетом $\frac{B+1}{B-1}\approx\frac{c}{v}$ из-за сильного неравенства $v\ll c$ получаем такое приближение		а с учетом $\frac{B+1}{B-1}\approx\frac{c}{v}$ из-за сильного неравенства $v\ll c$ получаем такое приближение

	$$		$$
	\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}.}		\boxed{\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}.}
	$$		$$

	Так как имеем $c/v\gg\cos\alpha$ всегда, то		Так как имеем $c/v\gg\cos\alpha$ всегда, то

	$$		$$
	\tan\frac{\Delta}{2}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha.		\tan\frac{\Delta}{2}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha.
	$$		$$

	Как видно, этот результат просто приводится к результату по элементарному подходу, так как из-за малости правой части $\tan\Delta/2\approx\Delta/2$.		Как видно, этот результат просто приводится к результату по элементарному подходу, так как из-за малости правой части $\tan\Delta/2\approx\Delta/2$.

	#### Литература		#### Литература

	[1] [Аберрация света.](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org.		[1] [Аберрация света.](https://ru.wikipedia.org/wiki/Аберрация_света). ru.wikipedia.org.

	[2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114.		[2] Б. Н. Гиммельфарб, “К объяснению аберрации звёзд в теории относительности”, УФН, 51:1 (1953), 99–114.

	[3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5.		[3] Л. Ландау и Е. Лифшиц, Теория поля, Гостехиздат, 1948, § 5.

	[4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org.		[4] [Aberration](https://de.wikipedia.org/wiki/Aberration_(Astronomie)#Herleitung). de.wikipedia.org.

	[5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38.		[5] Паули В. Теория относительности. 1991. C. 38.

	[6] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru.		[6] И. Яковлев. [Тригонометрические формулы](https://mathus.ru/math/trigform.pdf). mathus.ru.


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha\sim10^{-4}\sin\alpha,		\tan\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{\frac{c}{v}+\cos\alpha}\approx\frac{v}{c}\sin\alpha\sim10^{-4}\sin\alpha,
	$$		$$

	где $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца.		где $v=30~\text{км/ч}$ есть скорость Земли относительно Солнца.
	unchanged lines 109