Edit to “Решение”

jzmicer edited
View solution History
revision #17889 parent #11714 ← older newer →
ru/1.3.13.md +25 −28
@@ -12,77 +12,74 @@Решение:
а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в [1.3.6](../1.3.6):
$$
−y(x) = x \\tan\\varphi-\\frac{gx^2}{2v^2\\cos^2 \\varphi}
+y(x) = x \\tan\\varphi-\\frac{gx^2}{2v^2\\cos^2 \\varphi}\\tag{1}
$$
Воспользуемся подсказкой,
$$
−y(x) = x \\tan\\varphi-\\frac{gx^2}{2v^2}(1+\\tan^2 \\varphi)\\tag{1}
+y(x) = x \\tan\\varphi-\\frac{gx^2}{2v^2}(1+\\tan^2 \\varphi)\\tag{2}
$$
Откуда выражаем угол $ \\varphi$:
$$
−\\tan\\varphi=\\frac{v^2\\pm\\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}
+\\tan\\varphi=\\frac{v^2\\pm\\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}\\tag{3}
$$
б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\\varphi$ от $-\\frac{\\pi}{2}$ до $\\frac{\\pi}{2}$:
−![ Траектории движения при разных углах, ложатся на одну кривую |788x517, 76%](../../img/1.3.13/graph.png)
+![ Траектории движения при разных углах|788x517, 76%](../../img/1.3.13/graph.png)
−Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное
+Видим, что все эти траектории имеют общую огибающую, за которую снаряд при данной скорости не может вылететь ни при каком угле. И эта огибающая подозрительно напоминает параболу... Попробуем найти ее уравнение
+Проанализировав область определения функции $(2)$, заметим, что подкоренное выражение не отрицательное
+
$$
−v^4-2gv^2y-g^2x^2 \\geq 0
+v^4-2gv^2y-g^2x^2 \\geq 0 \\tag{4}
$$
+Другими словами, $(4)$ - это условие, при котором существует угол, направив пушку под которым, можно попасть в точку $(x, y)$. Либо это условие наличия корней $(2)$. Перепишем это:
$$
−y \\leq \\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2}
+y \\leq \\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2}\\tag{5}
$$
−в) Из $(1)$, получаем:
+Уравнение
$$
−v_{x}v_{y}x-\\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y
+y = \\frac{v^2}{2g}-\\frac{gx^2}{2v^2}
$$
+называют "параболой безопасности", оно описывает зону досягаемости орудия
−Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в [1.3.6](../1.3.6):
+в)
+Теперь мы сначала найдем зависимость необходимой для поражения цели скорости от угла выстрела, а потом - минимум этой функции.
+Перепишем (1) в немного другом виде, домножив на $v^2\\cos^2 \\varphi$:
$$
−y(t) = vt \\cdot \\sin{\\varphi} - \\frac{gt^2}{2}
+y v^2\\cos^2 \\varphi = x v^2 \\sin\\varphi\\cos \\varphi-\\frac{gx^2}{2}
$$
$$
−x(t) = vt \\cdot \\cos{\\varphi}
+v^2 (\varphi)=\\frac{gx^2}{2(x\\sin\\varphi\\cos \\varphi-y \\cos^2 \\varphi)}\tag{6}
$$
−Пусть $\\xi =\\cos{\\varphi}$,
−$$
−v_y = v \\xi
−$$
+В числителе константа, поэтому максимум знаменателя соответсвует минимуму функции (6). Ищем минимум
$$
−v_x = v \\sqrt{1-\\xi^2}
+x\\sin\\varphi\\cos \\varphi-y \\cos^2 \\varphi=\frac{1}{2}\left(x\\sin2\\varphi- y\\cos2\\varphi -y \right)
$$
−
−Получаем функцию
−
+Задача сводится к нахождению максимального значения $x\\sin2\\varphi- y\\cos2\\varphi$. такое можно решать с помощью производной, но покажем для разнообразия тригонометрический метод (вспомогательного угла):
$$
−v(\\xi )=\\frac{\\sqrt{g}x}{\\sqrt{2 \\xi\\sqrt{1-\\xi^{2}}x-\\xi^{2}y}} \\tag{2}
+x \sin 2\varphi - y \cos 2\varphi = \sqrt{x^2+y^2} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\sin 2\varphi - \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\cos 2\varphi \right) = \sqrt{x^2+y^2} \sin(2\varphi - \alpha) \le \sqrt{x^2+y^2}
$$
−Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)
−
+Подставляя все вместе:
$$
−(\\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \\rightarrow \\max
+v^{2}_{min}=\\frac{\frac{1}{2}gx^2}{\frac{1}{2}(\\sqrt{x^2+y^2}-y)}=\frac{gx(\\sqrt{x^2+y^2}+y)}{x^2+y^2-y^2}
$$
−
−Минимум функции $(2)$
−
$$
−\\fbox{$v^{2}=\\frac{gx}{\\sqrt{1+(\\frac{y}{x})^{2}}-\\frac{y}{x}}$}
+\\fbox{$v_{min}=\\sqrt{g(y+\\sqrt{x^2+y^2})}$}
$$
#### Ответ:
unchanged lines 6