Edits to “Материаловедческий способ”, “Баллистический способ”

emixter edited Apr 14, 2026, 1:21 PM

View solution History

revision #17896 parent #17895 ← older newer →

ru/5.6.8.md +47 −0

			### Условие

			$5.6.8.$ Оцените скорость вылета пули из патрона, брошенного в костер.

			### Решение

			Сначала представим себе патрон. Схематический рисунок приведён внизу. Для нас самое главное, что он состоит из двух составных частей: пули и гильзы. Пуля вставлена в гильзу.

			![К задаче $5.6.8$\|256x444, 30%](../../img/5.6.8/6.5.8_cartridge.png)

			Именно эти части во время сжигания пороха в костре разлетаются в разные стороны.

			Решим задачу двумя способами: материаловедческий и баллистический.

			#### Материаловедческий способ.

			Порох сжигается в гильзе, при этом образуются газы. Рассматриваем гильзу как тонкостенный цилиндр с диаметром $d$, толщиной стенок $\delta$ и длиной $L_{г}$. Толщина стенки $\delta\ll d$.

			Газы сжигания давят во все стороны равномерно, пытаясь разорвать гильзу. Механические напряжения, возникающие в стенках гильзы, равномерны по толщине. На рисунке внизу схематически представлены силы действующие по всей длине гильзы на одну из половин цилиндра:

			![\|1028x1327, 40%](../../img/5.6.8/6.5.8.jpeg)

			Давление действует на внутреннюю поверхность. Нас интересует результирующая сила, разрывающая цилиндр пополам. Результирующая проекция силы давления на плоскость разреза равна давлению, умноженному на проекцию площади:

			$$F_{рез}=P\cdot L_{г}d$$

			С двух сторон разреза действуют силы натяжения стенки. Если обозначить механическое напряжение $\sigma$, тогда сила натяжения стенки гильзы:

			$$F_{1}=\sigma\cdot L_{г}\delta$$

			Условие равновесия:

			$$F_{рез}=2F_{1}$$
			$$P\cdot L_{г}d=2\sigma\cdot L_{г}\delta\Longrightarrow P=\frac{2\sigma\delta}{d}$$

			При нагреве в костре материал тонкостенной оболочки гильзы начинает пластически деформироваться. Появляются локальные раздутия, утончения стенок, сцепление пули со стенками гильзы практически исчезает. Поэтому критическим давлением, когда пуля начнёт выходить из гильзы, будет:

			$$P_{кр}=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}$$

			где $\sigma_{тек}$ - предел текучести материала гильзы.

			При сжигании пороха давление быстро достигает значения $P_{кр}$ и работу газов можно считать оценочно, как при изобарическом процессе:

			$$A=\int PdV\approx P_{кр}\cdot \Delta V$$

			Изменение объёма:

			$$\Delta V=S\cdot \Delta x$$

			где $S=\frac{\pi d^{2}}{4}$ - площадь торца пули (при $\delta\ll d$ можно считать площадь торца пули такая же как площадь поперечного сечения гильзы); $\Delta x=L_{г}+L_{п}-L_{пат}$ - ход пули в гильзе. $L_{п}$ - длина пули, $L_{пат}$ - длина патрона.

			Тогда работу газов можна записать:

			$$A=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{1}$$

			Работа газов приводит к разлёту пули и гильзы в костре. Считаем, что пуля и гильза разлетаются вдоль одной горизонтальной прямой. Запишем закон сохранения импульса с учётом того, что патрон в костре вначале покоился:

			$$p_{п}=p_{г}\Longleftrightarrow m_{п}\upsilon_{п}=m_{г}\upsilon_{г}$$

			где $m_{п}$ - масса пули, $m_{г}$ - масса гильзы.

			Работа газов идёт в кинетические энергии пули и гильзы:

			$$A=\frac{p_{п}^{2}}{2m_{п}}+\frac{p_{г}^{2}}{2m_{г}}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\left( \frac{1}{m_{п}}+\frac{1}{m_{г}} \right)=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{2}$$

			Приравняем (1) и (2):

			$$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$

			Отсюда импульс пули:

			$$p_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$

			Окончательно скорость пули:
		@@ -75,6 +75,53 @@Материаловедческий способ.

			$$\boxed{\upsilon_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}$$

		+	Численные расчёты я приведу ниже.
		+
		+	#### Баллистический способ.
		+
		+	Суть баллистического способа в том, чтобы сравнить скорости вылета пули из костра со скоростью вылета пули из ствола ружья.
		+
		+	В ружье работа пороховых газов:
		+
		+	$$A_{руж}\approx FL_{ст}$$
		+
		+	где $L_{ст}$ - длина разгона пули в стволе.
		+
		+	Поскольку гильза в ружье не двигается и без учёта отдачи ружья, то вся эта энергия передаётся в кинетическую энергию пули при вылете из ствола:
		+
		+	$$A_{руж}\approx\frac{m_{п}V_{п}^{2}}{2}\Longrightarrow V_{п}=\sqrt{\frac{2A_{руж}}{m_{п}}}=\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}} \tag{3}$$
		+
		+	Полагая силу давления пороховых газов $F$ приблизительно постоянной и одинаковой как для случая ружья, так и для случая костра, то работа газов в костре будет:
		+
		+	$$A_{кос}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{4}$$
		+
		+	Но из решения материаловедческого способа, я уже нашёл, что:
		+
		+	$$A_{кос}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{5}$$
		+
		+	Приравняем (4) и (5):
		+
		+	$$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$
		+
		+	Отсюда импульс пули в костре:
		+
		+	$$p_{п}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$
		+
		+	Скорость пули в костре:
		+
		+	$$\upsilon_{п}=\frac{p_{п}}{m_{п}}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})} \tag{6}$$
		+
		+	Разделим (6) на (3):
		+
		+	$$\frac{\upsilon_{п}}{V_{п}}=\frac{\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}{\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}}}$$
		+
		+	Окончательно получим:
		+
		+	$$\boxed{\upsilon_{п}=V_{п}\sqrt{\frac{m_{г}}{(m_{п}+m_{г})}\cdot\frac{(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}{L_{ст}}}}$$
		+
		+	напомню $V_{п}$ - это скорость вылета пули из ствола ружья.
		+
		+
			#### Ответ

			$\upsilon\approx 10 \text{ м/с}$

	### Условие		### Условие

	$5.6.8.$ Оцените скорость вылета пули из патрона, брошенного в костер.		$5.6.8.$ Оцените скорость вылета пули из патрона, брошенного в костер.

	### Решение		### Решение

	Сначала представим себе патрон. Схематический рисунок приведён внизу. Для нас самое главное, что он состоит из двух составных частей: пули и гильзы. Пуля вставлена в гильзу.		Сначала представим себе патрон. Схематический рисунок приведён внизу. Для нас самое главное, что он состоит из двух составных частей: пули и гильзы. Пуля вставлена в гильзу.

	![К задаче $5.6.8$\|256x444, 30%](../../img/5.6.8/6.5.8_cartridge.png)		![К задаче $5.6.8$\|256x444, 30%](../../img/5.6.8/6.5.8_cartridge.png)

	Именно эти части во время сжигания пороха в костре разлетаются в разные стороны.		Именно эти части во время сжигания пороха в костре разлетаются в разные стороны.

	Решим задачу двумя способами: материаловедческий и баллистический.		Решим задачу двумя способами: материаловедческий и баллистический.

	#### Материаловедческий способ.		#### Материаловедческий способ.

	Порох сжигается в гильзе, при этом образуются газы. Рассматриваем гильзу как тонкостенный цилиндр с диаметром $d$, толщиной стенок $\delta$ и длиной $L_{г}$. Толщина стенки $\delta\ll d$.		Порох сжигается в гильзе, при этом образуются газы. Рассматриваем гильзу как тонкостенный цилиндр с диаметром $d$, толщиной стенок $\delta$ и длиной $L_{г}$. Толщина стенки $\delta\ll d$.

	Газы сжигания давят во все стороны равномерно, пытаясь разорвать гильзу. Механические напряжения, возникающие в стенках гильзы, равномерны по толщине. На рисунке внизу схематически представлены силы действующие по всей длине гильзы на одну из половин цилиндра:		Газы сжигания давят во все стороны равномерно, пытаясь разорвать гильзу. Механические напряжения, возникающие в стенках гильзы, равномерны по толщине. На рисунке внизу схематически представлены силы действующие по всей длине гильзы на одну из половин цилиндра:

	![\|1028x1327, 40%](../../img/5.6.8/6.5.8.jpeg)		![\|1028x1327, 40%](../../img/5.6.8/6.5.8.jpeg)

	Давление действует на внутреннюю поверхность. Нас интересует результирующая сила, разрывающая цилиндр пополам. Результирующая проекция силы давления на плоскость разреза равна давлению, умноженному на проекцию площади:		Давление действует на внутреннюю поверхность. Нас интересует результирующая сила, разрывающая цилиндр пополам. Результирующая проекция силы давления на плоскость разреза равна давлению, умноженному на проекцию площади:

	$$F_{рез}=P\cdot L_{г}d$$		$$F_{рез}=P\cdot L_{г}d$$

	С двух сторон разреза действуют силы натяжения стенки. Если обозначить механическое напряжение $\sigma$, тогда сила натяжения стенки гильзы:		С двух сторон разреза действуют силы натяжения стенки. Если обозначить механическое напряжение $\sigma$, тогда сила натяжения стенки гильзы:

	$$F_{1}=\sigma\cdot L_{г}\delta$$		$$F_{1}=\sigma\cdot L_{г}\delta$$

	Условие равновесия:		Условие равновесия:

	$$F_{рез}=2F_{1}$$		$$F_{рез}=2F_{1}$$
	$$P\cdot L_{г}d=2\sigma\cdot L_{г}\delta\Longrightarrow P=\frac{2\sigma\delta}{d}$$		$$P\cdot L_{г}d=2\sigma\cdot L_{г}\delta\Longrightarrow P=\frac{2\sigma\delta}{d}$$

	При нагреве в костре материал тонкостенной оболочки гильзы начинает пластически деформироваться. Появляются локальные раздутия, утончения стенок, сцепление пули со стенками гильзы практически исчезает. Поэтому критическим давлением, когда пуля начнёт выходить из гильзы, будет:		При нагреве в костре материал тонкостенной оболочки гильзы начинает пластически деформироваться. Появляются локальные раздутия, утончения стенок, сцепление пули со стенками гильзы практически исчезает. Поэтому критическим давлением, когда пуля начнёт выходить из гильзы, будет:

	$$P_{кр}=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}$$		$$P_{кр}=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}$$

	где $\sigma_{тек}$ - предел текучести материала гильзы.		где $\sigma_{тек}$ - предел текучести материала гильзы.

	При сжигании пороха давление быстро достигает значения $P_{кр}$ и работу газов можно считать оценочно, как при изобарическом процессе:		При сжигании пороха давление быстро достигает значения $P_{кр}$ и работу газов можно считать оценочно, как при изобарическом процессе:

	$$A=\int PdV\approx P_{кр}\cdot \Delta V$$		$$A=\int PdV\approx P_{кр}\cdot \Delta V$$

	Изменение объёма:		Изменение объёма:

	$$\Delta V=S\cdot \Delta x$$		$$\Delta V=S\cdot \Delta x$$

	где $S=\frac{\pi d^{2}}{4}$ - площадь торца пули (при $\delta\ll d$ можно считать площадь торца пули такая же как площадь поперечного сечения гильзы); $\Delta x=L_{г}+L_{п}-L_{пат}$ - ход пули в гильзе. $L_{п}$ - длина пули, $L_{пат}$ - длина патрона.		где $S=\frac{\pi d^{2}}{4}$ - площадь торца пули (при $\delta\ll d$ можно считать площадь торца пули такая же как площадь поперечного сечения гильзы); $\Delta x=L_{г}+L_{п}-L_{пат}$ - ход пули в гильзе. $L_{п}$ - длина пули, $L_{пат}$ - длина патрона.

	Тогда работу газов можна записать:		Тогда работу газов можна записать:

	$$A=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{1}$$		$$A=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{1}$$

	Работа газов приводит к разлёту пули и гильзы в костре. Считаем, что пуля и гильза разлетаются вдоль одной горизонтальной прямой. Запишем закон сохранения импульса с учётом того, что патрон в костре вначале покоился:		Работа газов приводит к разлёту пули и гильзы в костре. Считаем, что пуля и гильза разлетаются вдоль одной горизонтальной прямой. Запишем закон сохранения импульса с учётом того, что патрон в костре вначале покоился:

	$$p_{п}=p_{г}\Longleftrightarrow m_{п}\upsilon_{п}=m_{г}\upsilon_{г}$$		$$p_{п}=p_{г}\Longleftrightarrow m_{п}\upsilon_{п}=m_{г}\upsilon_{г}$$

	где $m_{п}$ - масса пули, $m_{г}$ - масса гильзы.		где $m_{п}$ - масса пули, $m_{г}$ - масса гильзы.

	Работа газов идёт в кинетические энергии пули и гильзы:		Работа газов идёт в кинетические энергии пули и гильзы:

	$$A=\frac{p_{п}^{2}}{2m_{п}}+\frac{p_{г}^{2}}{2m_{г}}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\left( \frac{1}{m_{п}}+\frac{1}{m_{г}} \right)=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{2}$$		$$A=\frac{p_{п}^{2}}{2m_{п}}+\frac{p_{г}^{2}}{2m_{г}}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\left( \frac{1}{m_{п}}+\frac{1}{m_{г}} \right)=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{2}$$

	Приравняем (1) и (2):		Приравняем (1) и (2):

	$$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$		$$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$

	Отсюда импульс пули:		Отсюда импульс пули:

	$$p_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$		$$p_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$

	Окончательно скорость пули:		Окончательно скорость пули:
	@@ -75,6 +75,53 @@Материаловедческий способ.

	$$\boxed{\upsilon_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}$$		$$\boxed{\upsilon_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}$$

			Численные расчёты я приведу ниже.

			#### Баллистический способ.

			Суть баллистического способа в том, чтобы сравнить скорости вылета пули из костра со скоростью вылета пули из ствола ружья.

			В ружье работа пороховых газов:

			$$A_{руж}\approx FL_{ст}$$

			где $L_{ст}$ - длина разгона пули в стволе.

			Поскольку гильза в ружье не двигается и без учёта отдачи ружья, то вся эта энергия передаётся в кинетическую энергию пули при вылете из ствола:

			$$A_{руж}\approx\frac{m_{п}V_{п}^{2}}{2}\Longrightarrow V_{п}=\sqrt{\frac{2A_{руж}}{m_{п}}}=\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}} \tag{3}$$

			Полагая силу давления пороховых газов $F$ приблизительно постоянной и одинаковой как для случая ружья, так и для случая костра, то работа газов в костре будет:

			$$A_{кос}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{4}$$

			Но из решения материаловедческого способа, я уже нашёл, что:

			$$A_{кос}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{5}$$

			Приравняем (4) и (5):

			$$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$

			Отсюда импульс пули в костре:

			$$p_{п}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$

			Скорость пули в костре:

			$$\upsilon_{п}=\frac{p_{п}}{m_{п}}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})} \tag{6}$$

			Разделим (6) на (3):

			$$\frac{\upsilon_{п}}{V_{п}}=\frac{\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}{\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}}}$$

			Окончательно получим:

			$$\boxed{\upsilon_{п}=V_{п}\sqrt{\frac{m_{г}}{(m_{п}+m_{г})}\cdot\frac{(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}{L_{ст}}}}$$

			напомню $V_{п}$ - это скорость вылета пули из ствола ружья.


	#### Ответ		#### Ответ

	$\upsilon\approx 10 \text{ м/с}$		$\upsilon\approx 10 \text{ м/с}$