Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.7.20.md
+59 −3
| @@ -1,11 +1,67 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.7.20.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.7.20.$ Почему звуковой сигнал, распространяющийся по ветру, слышен значительно лучше, чем против ветра? Скорость ветра заметно уменьшается при приближении к поверхности земли. | ||
| ### Решение | |||
| − | asd | ||
| + | При решении задачи я буду принебрегать зависимостью скорости звука $c$ от температуры и давления. Ось $x$ направим вдоль земли по направлению ветру, а ось $z$ в атмосферу. Поскольку скорость ветра $V(z)$ заметно уменьшается при приближении к поверхности земли, то градиент скорости ветра $\frac{d V}{dz}\gt 0$. Скорость ветра зависит только от координаты $z$. | ||
| + | Источник звука находится в точке (0,0). Атмосферу можно представить в виде бесконечного числа тонких горизонтальных слоев. Чтобы волновой фронт (гребень волны) при переходе из слоя в слой оставался единым целым и не разрывался, скорость движения точки пересечения фронта с горизонтальной плоскостью (горизонтальная фазовая скорость $\upsilon_{x}$) должна быть строго одинаковой на любой высоте: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon_{x}=const$$ | ||
| + | |||
| + | Ещё раз: если бы в каком-то слое гребень волны бежал по горизонтали быстрее, а в соседнем — медленнее, то волновой фронт просто разорвался бы. Это наш инвариант. | ||
| + | |||
| + | Геометрически эта скорость складывается из двух величин: скорость точки пересечения звукового фронта с горизонтальным слоем в неподвижной среде и скорости ветра, который увлекает за собой волну в слое воздуха. | ||
| + | |||
| + |  | ||
| + | |||
| + | Пусть угол между направлением скорости звука и вертикальной осью $z$ равен $\theta$. На рисунке $\textbf{а}$: $BC$ - это фронт волны, $AC$ это расстояниие, которое проходит фронт до горизонтального слоя, точка $B$ это точка пересечения фронта с горизонтальным слоем, $AB$ это расстояние, которое пройдёт точка $B$. Из прямоугольного $\Delta ACB$: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{c\cdot dt}{\sin\theta}=dS\Longrightarrow \frac{dS}{dt}=\upsilon^{'}=\frac{c}{\sin\theta}$$ | ||
| + | |||
| + | Добавляя скорость движения ветра, получим: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon_{x}=\frac{c}{\sin\theta(z)}+V(z)=C_{0}=const$$ | ||
| + | |||
| + | Зададим начальные условия на поверхности земли $z=0$, где скорость ветра $V(0)=0$, а угол выхода луча из источника звука равен $\theta_{0}$: | ||
| + | |||
| + | $$C_{0}=\frac{c}{\sin\theta_{0}}$$ | ||
| + | |||
| + | Итоговый инвариант связывает угол луча на любой высоте с начальным углом вылета: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{c}{\sin\theta(z)}+V(z)=\frac{c}{\sin\theta_{0}} \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Точка на гребне волны движется со скоростью, равной векторной сумме скорости звука и скорости ветра. Смотри рисунок $\textbf{б}$. Кинематические уравнения движения этой точки (звукового луча) в проекциях на оси $x$ и $z$ имеют вид: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{dx}{dt}=c\sin\theta(z)+V(z)$$ | ||
| + | $$\frac{dz}{dt}=c\cos\theta(z)$$ | ||
| + | |||
| + | Разделим первое уравнение на второе и получим дифференциальное уравнение траектории луча: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{dx}{dz}=\tan\theta(z)+\frac{V(z)}{c\cos\theta(z)} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Выразим тригонометрические функции угла $\theta(z)$ из нашего инварианта (1): | ||
| + | |||
| + | $$\sin\theta(z)=\frac{\sin\theta_{0}}{1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0}}$$ | ||
| + | |||
| + | Используя основное тригонометрическое тождество $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}$: | ||
| + | |||
| + | $$\cos\theta(z)=\frac{\sqrt{\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}{1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0}}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим полученные функции в дифференциальное уравнение траектории луча (2): | ||
| + | |||
| + | $$\frac{dx}{dz}=\frac{\sin\theta_{0}+\frac{V(z)}{c}\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)}{\sqrt{\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}$$ | ||
| + | |||
| + | Интегрируя это выражение по высоте от 0 до $z$, получаем общее уравнение траектории для произвольного профиля ветра $V(z)$: | ||
| + | |||
| + | $$x(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin\theta_{0}+\frac{V(\zeta)}{c}\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)}{\sqrt{\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}d\zeta$$ | ||
| + | |||
| + | ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ..... | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волновым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в противоположном направлении уходит от нее. | ||
| + | |||
| + |  | ||
| @@ -1,11 +1,67 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.7.20.$ [Вставьте условие задачи] | $3.7.20.$ Почему звуковой сигнал, распространяющийся по ветру, слышен значительно лучше, чем против ветра? Скорость ветра заметно уменьшается при приближении к поверхности земли. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| asd | При решении задачи я буду принебрегать зависимостью скорости звука $c$ от температуры и давления. Ось $x$ направим вдоль земли по направлению ветру, а ось $z$ в атмосферу. Поскольку скорость ветра $V(z)$ заметно уменьшается при приближении к поверхности земли, то градиент скорости ветра $\frac{d V}{dz}\gt 0$. Скорость ветра зависит только от координаты $z$. | ||
| Источник звука находится в точке (0,0). Атмосферу можно представить в виде бесконечного числа тонких горизонтальных слоев. Чтобы волновой фронт (гребень волны) при переходе из слоя в слой оставался единым целым и не разрывался, скорость движения точки пересечения фронта с горизонтальной плоскостью (горизонтальная фазовая скорость $\upsilon_{x}$) должна быть строго одинаковой на любой высоте: | |||
| $$\upsilon_{x}=const$$ | |||
| Ещё раз: если бы в каком-то слое гребень волны бежал по горизонтали быстрее, а в соседнем — медленнее, то волновой фронт просто разорвался бы. Это наш инвариант. | |||
| Геометрически эта скорость складывается из двух величин: скорость точки пересечения звукового фронта с горизонтальным слоем в неподвижной среде и скорости ветра, который увлекает за собой волну в слое воздуха. | |||
|  | |||
| Пусть угол между направлением скорости звука и вертикальной осью $z$ равен $\theta$. На рисунке $\textbf{а}$: $BC$ - это фронт волны, $AC$ это расстояниие, которое проходит фронт до горизонтального слоя, точка $B$ это точка пересечения фронта с горизонтальным слоем, $AB$ это расстояние, которое пройдёт точка $B$. Из прямоугольного $\Delta ACB$: | |||
| $$\frac{c\cdot dt}{\sin\theta}=dS\Longrightarrow \frac{dS}{dt}=\upsilon^{'}=\frac{c}{\sin\theta}$$ | |||
| Добавляя скорость движения ветра, получим: | |||
| $$\upsilon_{x}=\frac{c}{\sin\theta(z)}+V(z)=C_{0}=const$$ | |||
| Зададим начальные условия на поверхности земли $z=0$, где скорость ветра $V(0)=0$, а угол выхода луча из источника звука равен $\theta_{0}$: | |||
| $$C_{0}=\frac{c}{\sin\theta_{0}}$$ | |||
| Итоговый инвариант связывает угол луча на любой высоте с начальным углом вылета: | |||
| $$\frac{c}{\sin\theta(z)}+V(z)=\frac{c}{\sin\theta_{0}} \tag{1}$$ | |||
| Точка на гребне волны движется со скоростью, равной векторной сумме скорости звука и скорости ветра. Смотри рисунок $\textbf{б}$. Кинематические уравнения движения этой точки (звукового луча) в проекциях на оси $x$ и $z$ имеют вид: | |||
| $$\frac{dx}{dt}=c\sin\theta(z)+V(z)$$ | |||
| $$\frac{dz}{dt}=c\cos\theta(z)$$ | |||
| Разделим первое уравнение на второе и получим дифференциальное уравнение траектории луча: | |||
| $$\frac{dx}{dz}=\tan\theta(z)+\frac{V(z)}{c\cos\theta(z)} \tag{2}$$ | |||
| Выразим тригонометрические функции угла $\theta(z)$ из нашего инварианта (1): | |||
| $$\sin\theta(z)=\frac{\sin\theta_{0}}{1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0}}$$ | |||
| Используя основное тригонометрическое тождество $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}$: | |||
| $$\cos\theta(z)=\frac{\sqrt{\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}{1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0}}$$ | |||
| Подставим полученные функции в дифференциальное уравнение траектории луча (2): | |||
| $$\frac{dx}{dz}=\frac{\sin\theta_{0}+\frac{V(z)}{c}\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)}{\sqrt{\left( 1-\frac{V(z)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}$$ | |||
| Интегрируя это выражение по высоте от 0 до $z$, получаем общее уравнение траектории для произвольного профиля ветра $V(z)$: | |||
| $$x(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin\theta_{0}+\frac{V(\zeta)}{c}\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)}{\sqrt{\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}d\zeta$$ | |||
| ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ..... | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волновым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в противоположном направлении уходит от нее. | ||
|  | |||