Edit to “Решение”

emixter edited
View solution History
revision #18041 parent #18040 ← older newer →
ru/3.7.20.md +47 −2
@@ -55,10 +55,55 @@Решение
Интегрируя это выражение по высоте от 0 до $z$, получаем общее уравнение траектории для произвольного профиля ветра $V(z)$:
−$$x(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin\theta_{0}+\frac{V(\zeta)}{c}\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)}{\sqrt{\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}d\zeta$$
+$$x(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin\theta_{0}+\frac{V(\zeta)}{c}\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)}{\sqrt{\left( 1-\frac{V(\zeta)}{c}\sin\theta_{0} \right)^{2}-\sin^{2}\theta_{0}}}d\zeta \tag{3}$$
−ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ.....
+Рассмотрим приземное приближение для слабого линейного ветра:
+$$V(z)\ll c, \quad V(z)=\beta z$$
+
+В приземном слое скорость ветра много меньше скорости звука, поэтому отношение $\epsilon=\frac{V(\zeta)}{c}=\frac{\beta\zeta}{c}\ll 1$ является малым параметром. Разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора по $\epsilon$, удерживая только линейные члены. Так как выражения весьма громоздки, я сделаю это отдельно для числителя и отдельно для знаменателя.
+
+Разложение знаменателя (под корнем):
+
+$$(1-\epsilon\sin\theta_{0})^{2}-\sin^{2}\theta_{0}=1-2\epsilon\sin\theta_{0}+\epsilon^{2}\sin^{2}\theta_{0}-\sin^{2}\theta_{0}\approx \cos^{2}\theta_{0}-2\epsilon\sin\theta_{0}$$
+
+Используя приближение $(1-x)^{-1/2}\approx 1+\frac{x}{2}$, запишем:
+
+$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}\theta_{0}-2\epsilon\sin\theta_{0}}}=\frac{1}{\cos\theta_{0}}\left( 1-2\epsilon\frac{\sin\theta_{0}}{\cos^{2}\theta_{0}} \right)^{-1/2}\approx \frac{1}{\cos\theta_{0}}\left( 1+\epsilon\frac{\sin\theta_{0}}{\cos^{2}\theta_{0}} \right)$$
+
+Разложение числителя:
+
+$$\sin\theta_{0}+\epsilon(1-\epsilon\sin\theta_{0})\approx \sin\theta_{0}+\epsilon$$
+
+Тогда подинтегральное выражение:
+
+$$\frac{\sin\theta_{0}+\epsilon}{\cos\theta_{0}}\left( 1+\epsilon\frac{\sin\theta_{0}}{\cos^{2}\theta_{0}} \right)\approx \frac{\sin\theta_{0}}{\cos\theta_{0}}+\frac{\epsilon}{\cos\theta_{0}}+\epsilon\frac{\sin^{2}\theta_{0}}{\cos^{3}\theta_{0}}=\tan\theta_{0}+\frac{\epsilon}{\cos^{3}\theta_{0}}$$
+
+Вернем замену $\epsilon=\frac{\beta\zeta}{c}$ и подставим упрощенное выражение под интеграл (3):
+
+$$x(z)\approx \int_{0}^{z}\left( \tan\theta_{0}+\frac{\beta}{c\cdot\cos^{3}\theta_{0}}\zeta \right)d\zeta$$
+
+Интегрируя, получаем уравнение параболических траекторий звуковых лучей:
+
+$$x(z)\approx z\cdot\tan\theta_{0}+\frac{\beta z^{2}}{2c\cdot\cos^{3}\theta_{0}} \tag{4}$$
+
+Проанализируем полученное уравнение. Поскольку источник находится на земле, физически лучи могут излучаться только в верхнее полупространство, что ограничивает начальный угол пределами $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$.
+
+Диапазон по ветру: $\theta_{0}\in (0;\frac{\pi}{2})$. Оба коэффициента уравнения параболы положительны. Луч выходит вправо-вверх, и с ростом высоты его наклон к горизонту уменьшается, так как $\frac{dx}{dz}$ растет. Волновой фронт опрокидывается вперед, прижимая звуковую энергию к земле. Это зона отличной слышимости.
+
+Диапазон против ветра: $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};0)$. Линейный член отрицателен, квадратичный — положителен:
+
+$$x(z)=-z\cdot\left| \tan\theta_{0} \right|+\frac{\beta z^{2}}{2c\cdot\cos^{3}\theta_{0}}$$
+
+Луч сначала идет влево-вверх (против ветра), но квадратичный член неуклонно тянет траекторию вправо. Парабола имеет точку разворота по горизонтали. Достигнув некоторого максимального удаления против ветра, луч разворачивается и уносится ветром в обратную сторону, уходя высоко в атмосферу.
+
+Траектория лучей представлена на рисунке:
+
+![|254x137, 50%](../../img/3.7.20/3.7.20_1.png)
+
+На этом задача полностью решена, но очень хочется найти геометрическую границу области акустической тени - места, куда звук не будет доходить от источника звука.
+
+ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ ...
#### Ответ
unchanged lines 3