$3.7.20.$ Почему звуковой сигнал, распространяющийся по ветру, слышен значительно лучше, чем против ветра? Скорость ветра заметно уменьшается при приближении к поверхности земли.
### Решение
При решении задачи я буду принебрегать зависимостью скорости звука $c$ от температуры и давления. Ось $x$ направим вдоль земли по направлению ветру, а ось $z$ в атмосферу. Поскольку скорость ветра $V(z)$ заметно уменьшается при приближении к поверхности земли, то градиент скорости ветра $\frac{d V}{dz}\gt 0$. Скорость ветра зависит только от координаты $z$.
Источник звука находится в точке (0,0). Атмосферу можно представить в виде бесконечного числа тонких горизонтальных слоев. Чтобы волновой фронт (гребень волны) при переходе из слоя в слой оставался единым целым и не разрывался, скорость движения точки пересечения фронта с горизонтальной плоскостью (горизонтальная фазовая скорость $\upsilon_{x}$) должна быть строго одинаковой на любой высоте:
$$\upsilon_{x}=const$$
Ещё раз: если бы в каком-то слое гребень волны бежал по горизонтали быстрее, а в соседнем — медленнее, то волновой фронт просто разорвался бы. Это наш инвариант.
Геометрически эта скорость складывается из двух величин: скорость точки пересечения звукового фронта с горизонтальным слоем в неподвижной среде и скорости ветра, который увлекает за собой волну в слое воздуха.
Пусть угол между направлением скорости звука и вертикальной осью $z$ равен $\theta$. На рисунке $\textbf{а}$: $BC$ - это фронт волны, $AC$ это расстояниие, которое проходит фронт до горизонтального слоя, точка $B$ это точка пересечения фронта с горизонтальным слоем, $AB$ это расстояние, которое пройдёт точка $B$. Из прямоугольного $\Delta ACB$:
Точка на гребне волны движется со скоростью, равной векторной сумме скорости звука и скорости ветра. Смотри рисунок $\textbf{б}$. Кинематические уравнения движения этой точки (звукового луча) в проекциях на оси $x$ и $z$ имеют вид:
$$\frac{dx}{dt}=c\sin\theta(z)+V(z)$$
$$\frac{dz}{dt}=c\cos\theta(z)$$
Разделим первое уравнение на второе и получим дифференциальное уравнение траектории луча:
Рассмотрим приземное приближение для слабого линейного ветра:
$$V(z)\ll c, \quad V(z)=\beta z$$
В приземном слое скорость ветра много меньше скорости звука, поэтому отношение $\epsilon=\frac{V(\zeta)}{c}=\frac{\beta\zeta}{c}\ll 1$ является малым параметром. Разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора по $\epsilon$, удерживая только линейные члены. Так как выражения весьма громоздки, я сделаю это отдельно для числителя и отдельно для знаменателя.
Проанализируем полученное уравнение. Поскольку источник находится на земле, физически лучи могут излучаться только в верхнее полупространство, что ограничивает начальный угол пределами $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$.
@@ -91,7 +91,7 @@Решение
Диапазон по ветру: $\theta_{0}\in (0;\frac{\pi}{2})$. Оба коэффициента уравнения параболы положительны. Луч выходит вправо-вверх, и с ростом высоты его наклон к горизонту уменьшается, так как $\frac{dx}{dz}$ растет. Волновой фронт опрокидывается вперед, прижимая звуковую энергию к земле. Это зона отличной слышимости.
−
Диапазон против ветра: $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};0)$. Линейный член отрицателен, квадратичный — положителен:
+
Диапазон против ветра: $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};0)$. Линейный член отрицателен, квадратичный - положителен:
Луч сначала идет влево-вверх (против ветра), но квадратичный член неуклонно тянет траекторию вправо. Парабола имеет точку разворота по горизонтали. Достигнув некоторого максимального удаления против ветра, луч разворачивается и уносится ветром в обратную сторону, уходя высоко в атмосферу.
Траектория лучей представлена на рисунке:
@@ -103,7 +103,43 @@Решение
На этом задача полностью решена, но очень хочется найти геометрическую границу области акустической тени - места, куда звук не будет доходить от источника звука.
−
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ ...
+
Граница акустической тени представляет собой огибающую линию всего семейства лучей, выпущенных против ветра. Семейство лучей задается уравнением, где $\theta_{0}$ является параметром:
Для приземного слоя, формирующего границу тени у земли, высота $z$ мала, а значит $\frac{2c}{3\beta z}\gg 1$. Из уравнения связи (5) следует, что $\sin\theta_{0}\to -1$, то есть границу тени формируют пологие лучи, скользящие вдоль земли $\theta_{0}=-\frac{\pi}{2}+\alpha$, где $\alpha\ll 1$. Для малых углов: $\cos\theta_{0}=\cos(-\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha\approx\alpha$, а $\sin\theta_{0}=\sin(-\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\cos\alpha\approx -1$.
Любой наблюдатель, находящийся на расстоянии $x$ против ветра, у которого высота ушей окажется ниже значения $z$, попадет в зону полного отсутствия прямых звуковых лучей и окажется в тишине.
+
+
Расчитаем это место для моего роста. Буду считать, что мои уши находятся на высоте $z=1,8\text{ м.}$, скорость звука $c=340\text{ м/c}$, для умеренного ветра $\beta=0,1 \text{ с}^{-1}$. Тогда:
+
+
$$x\approx -43 \text{ м.}$$
+
+
Напомню, знак минус у нас из-за того, что я нахожусь левее точки начала отсчёта.
#### Ответ
См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волновым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в противоположном направлении уходит от нее.
unchanged lines 3
### Условие
### Условие
$3.7.20.$ Почему звуковой сигнал, распространяющийся по ветру, слышен значительно лучше, чем против ветра? Скорость ветра заметно уменьшается при приближении к поверхности земли.
$3.7.20.$ Почему звуковой сигнал, распространяющийся по ветру, слышен значительно лучше, чем против ветра? Скорость ветра заметно уменьшается при приближении к поверхности земли.
### Решение
### Решение
При решении задачи я буду принебрегать зависимостью скорости звука $c$ от температуры и давления. Ось $x$ направим вдоль земли по направлению ветру, а ось $z$ в атмосферу. Поскольку скорость ветра $V(z)$ заметно уменьшается при приближении к поверхности земли, то градиент скорости ветра $\frac{d V}{dz}\gt 0$. Скорость ветра зависит только от координаты $z$.
При решении задачи я буду принебрегать зависимостью скорости звука $c$ от температуры и давления. Ось $x$ направим вдоль земли по направлению ветру, а ось $z$ в атмосферу. Поскольку скорость ветра $V(z)$ заметно уменьшается при приближении к поверхности земли, то градиент скорости ветра $\frac{d V}{dz}\gt 0$. Скорость ветра зависит только от координаты $z$.
Источник звука находится в точке (0,0). Атмосферу можно представить в виде бесконечного числа тонких горизонтальных слоев. Чтобы волновой фронт (гребень волны) при переходе из слоя в слой оставался единым целым и не разрывался, скорость движения точки пересечения фронта с горизонтальной плоскостью (горизонтальная фазовая скорость $\upsilon_{x}$) должна быть строго одинаковой на любой высоте:
Источник звука находится в точке (0,0). Атмосферу можно представить в виде бесконечного числа тонких горизонтальных слоев. Чтобы волновой фронт (гребень волны) при переходе из слоя в слой оставался единым целым и не разрывался, скорость движения точки пересечения фронта с горизонтальной плоскостью (горизонтальная фазовая скорость $\upsilon_{x}$) должна быть строго одинаковой на любой высоте:
$$\upsilon_{x}=const$$
$$\upsilon_{x}=const$$
Ещё раз: если бы в каком-то слое гребень волны бежал по горизонтали быстрее, а в соседнем — медленнее, то волновой фронт просто разорвался бы. Это наш инвариант.
Ещё раз: если бы в каком-то слое гребень волны бежал по горизонтали быстрее, а в соседнем — медленнее, то волновой фронт просто разорвался бы. Это наш инвариант.
Геометрически эта скорость складывается из двух величин: скорость точки пересечения звукового фронта с горизонтальным слоем в неподвижной среде и скорости ветра, который увлекает за собой волну в слое воздуха.
Геометрически эта скорость складывается из двух величин: скорость точки пересечения звукового фронта с горизонтальным слоем в неподвижной среде и скорости ветра, который увлекает за собой волну в слое воздуха.
Пусть угол между направлением скорости звука и вертикальной осью $z$ равен $\theta$. На рисунке $\textbf{а}$: $BC$ - это фронт волны, $AC$ это расстояниие, которое проходит фронт до горизонтального слоя, точка $B$ это точка пересечения фронта с горизонтальным слоем, $AB$ это расстояние, которое пройдёт точка $B$. Из прямоугольного $\Delta ACB$:
Пусть угол между направлением скорости звука и вертикальной осью $z$ равен $\theta$. На рисунке $\textbf{а}$: $BC$ - это фронт волны, $AC$ это расстояниие, которое проходит фронт до горизонтального слоя, точка $B$ это точка пересечения фронта с горизонтальным слоем, $AB$ это расстояние, которое пройдёт точка $B$. Из прямоугольного $\Delta ACB$:
Точка на гребне волны движется со скоростью, равной векторной сумме скорости звука и скорости ветра. Смотри рисунок $\textbf{б}$. Кинематические уравнения движения этой точки (звукового луча) в проекциях на оси $x$ и $z$ имеют вид:
Точка на гребне волны движется со скоростью, равной векторной сумме скорости звука и скорости ветра. Смотри рисунок $\textbf{б}$. Кинематические уравнения движения этой точки (звукового луча) в проекциях на оси $x$ и $z$ имеют вид:
$$\frac{dx}{dt}=c\sin\theta(z)+V(z)$$
$$\frac{dx}{dt}=c\sin\theta(z)+V(z)$$
$$\frac{dz}{dt}=c\cos\theta(z)$$
$$\frac{dz}{dt}=c\cos\theta(z)$$
Разделим первое уравнение на второе и получим дифференциальное уравнение траектории луча:
Разделим первое уравнение на второе и получим дифференциальное уравнение траектории луча:
Рассмотрим приземное приближение для слабого линейного ветра:
Рассмотрим приземное приближение для слабого линейного ветра:
$$V(z)\ll c, \quad V(z)=\beta z$$
$$V(z)\ll c, \quad V(z)=\beta z$$
В приземном слое скорость ветра много меньше скорости звука, поэтому отношение $\epsilon=\frac{V(\zeta)}{c}=\frac{\beta\zeta}{c}\ll 1$ является малым параметром. Разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора по $\epsilon$, удерживая только линейные члены. Так как выражения весьма громоздки, я сделаю это отдельно для числителя и отдельно для знаменателя.
В приземном слое скорость ветра много меньше скорости звука, поэтому отношение $\epsilon=\frac{V(\zeta)}{c}=\frac{\beta\zeta}{c}\ll 1$ является малым параметром. Разложим подынтегральное выражение в ряд Тейлора по $\epsilon$, удерживая только линейные члены. Так как выражения весьма громоздки, я сделаю это отдельно для числителя и отдельно для знаменателя.
Проанализируем полученное уравнение. Поскольку источник находится на земле, физически лучи могут излучаться только в верхнее полупространство, что ограничивает начальный угол пределами $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$.
Проанализируем полученное уравнение. Поскольку источник находится на земле, физически лучи могут излучаться только в верхнее полупространство, что ограничивает начальный угол пределами $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$.
@@ -91,7 +91,7 @@Решение
Диапазон по ветру: $\theta_{0}\in (0;\frac{\pi}{2})$. Оба коэффициента уравнения параболы положительны. Луч выходит вправо-вверх, и с ростом высоты его наклон к горизонту уменьшается, так как $\frac{dx}{dz}$ растет. Волновой фронт опрокидывается вперед, прижимая звуковую энергию к земле. Это зона отличной слышимости.
Диапазон по ветру: $\theta_{0}\in (0;\frac{\pi}{2})$. Оба коэффициента уравнения параболы положительны. Луч выходит вправо-вверх, и с ростом высоты его наклон к горизонту уменьшается, так как $\frac{dx}{dz}$ растет. Волновой фронт опрокидывается вперед, прижимая звуковую энергию к земле. Это зона отличной слышимости.
Диапазон против ветра: $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};0)$. Линейный член отрицателен, квадратичный — положителен:
Диапазон против ветра: $\theta_{0}\in (-\frac{\pi}{2};0)$. Линейный член отрицателен, квадратичный - положителен:
Луч сначала идет влево-вверх (против ветра), но квадратичный член неуклонно тянет траекторию вправо. Парабола имеет точку разворота по горизонтали. Достигнув некоторого максимального удаления против ветра, луч разворачивается и уносится ветром в обратную сторону, уходя высоко в атмосферу.
Луч сначала идет влево-вверх (против ветра), но квадратичный член неуклонно тянет траекторию вправо. Парабола имеет точку разворота по горизонтали. Достигнув некоторого максимального удаления против ветра, луч разворачивается и уносится ветром в обратную сторону, уходя высоко в атмосферу.
Траектория лучей представлена на рисунке:
Траектория лучей представлена на рисунке:
@@ -103,7 +103,43 @@Решение
На этом задача полностью решена, но очень хочется найти геометрическую границу области акустической тени - места, куда звук не будет доходить от источника звука.
На этом задача полностью решена, но очень хочется найти геометрическую границу области акустической тени - места, куда звук не будет доходить от источника звука.
ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ ...
Граница акустической тени представляет собой огибающую линию всего семейства лучей, выпущенных против ветра. Семейство лучей задается уравнением, где $\theta_{0}$ является параметром:
Для приземного слоя, формирующего границу тени у земли, высота $z$ мала, а значит $\frac{2c}{3\beta z}\gg 1$. Из уравнения связи (5) следует, что $\sin\theta_{0}\to -1$, то есть границу тени формируют пологие лучи, скользящие вдоль земли $\theta_{0}=-\frac{\pi}{2}+\alpha$, где $\alpha\ll 1$. Для малых углов: $\cos\theta_{0}=\cos(-\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha\approx\alpha$, а $\sin\theta_{0}=\sin(-\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\cos\alpha\approx -1$.
Любой наблюдатель, находящийся на расстоянии $x$ против ветра, у которого высота ушей окажется ниже значения $z$, попадет в зону полного отсутствия прямых звуковых лучей и окажется в тишине.
Расчитаем это место для моего роста. Буду считать, что мои уши находятся на высоте $z=1,8\text{ м.}$, скорость звука $c=340\text{ м/c}$, для умеренного ветра $\beta=0,1 \text{ с}^{-1}$. Тогда:
$$x\approx -43 \text{ м.}$$
Напомню, знак минус у нас из-за того, что я нахожусь левее точки начала отсчёта.
#### Ответ
#### Ответ
См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волновым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в противоположном направлении уходит от нее.
См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волновым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в противоположном направлении уходит от нее.
