Решение

Задачу посчитаем обобщением задач $3.4.4$ и $3.4.5$ на случай разности фаз двух колебаний, которая зависит от времени. С учетом произвольности начала отсчета времени перепишем данные колебаний в терминах решения задачи $3.4.5$:

$$x=A\sin(\omega t),\quad y=A\sin(\omega t + \Omega t).$$

Из решения задачи $3.4.3$ стало понятно, что эта система уравнений описывает эллипс, оси которого могут быть под произвольными углами к осям $x$ и $y$, если разность фаз постоянна. В нашей задаче просто используем этот результат, но разность фаз $2\varphi\equiv\Omega t$ будет зависеть от времени.

По результатам решения задачи $3.4.5$ полуоси эллипса для текущей задачи:

$$A\sqrt2\cos\frac{\Omega}{2} t\quad\text{и}\quad A\sqrt2\sin\frac{\Omega}{2} t.$$

Итак, вот, что имеем.

• В момент времени $t=0$ на экране отрезок — одна из полуосей равна $0$. Полуоси лежат на диагоналях квадрата (см. решение задачи $3.4.5$).

• Далее эллипс «раздувается» до окружности, а потом предельно «сдувается», вытягиваясь вдоль другой диагонали.

• После соответственно следующего «раздува»—«сдува» приходим к состоянию отвечающему начальному моменту $t=0$. Весь цикл занимает время $2\pi/\Omega$, в чем можно убедиться, рисуя графики изменения полуосей. Далее идет повторение описанного цикла.