Колебания и волны > Наложение колебаний > Задача 3.4.5

Условие

$3.4.5^*.$ В условиях задачи $3.4.4$ определите, при каком сдвиге фаз на экране виден отрезок; окружность. За время $2\pi/\omega$ след луча на экране не успевает погаснуть. Докажите, что в случае произвольного постоянного $\varphi$ след луча на экране представляет собой эллипс с полуосями, лежащими на диагоналях квадрата. Найдите эти полуоси.

Решение

Задачу $3.4.4$ переформулируем в термины синусов — тогда сможем удобно использовать решение задачи $3.4.3$. С учетом произвольности начального момента времени и постоянства разности фаз имеем просто для оси $x$

$$
x=A\sin\omega t
$$

и для оси $y$

$$
y=A\sin\left(\omega t + 2\varphi\right).
$$

Из решения задачи $3.4.3$ стало понятно, что эта система уравнений описывает эллипс, оси которого могут быть под произвольными углами к осям $x$ и $y$.

Из решения указанной задачи выводим полуоси эллипса для текущей задачи:

$$
\sqrt{\frac{1}{2}\left(2A^2\pm\sqrt{4A^4-4A^4\sin^2(2\varphi)}\right)}.
$$

Упрощается так:

$$
\sqrt{A^2\left(1\pm\cos(2\varphi)\right)}.\tag{1}
$$

• Если видим отрезок, то это считается предельно узкий эллипс, одна полуось которого нулевая; поэтому нужно

$$
\cos(2\varphi)=\mp1,
$$

или

$$
2\varphi=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.
$$

• Если видим окружность, то это эллипс с равными полуосями; поэтому нужно

$$
\cos(2\varphi)=0,
$$

или

$$
2\varphi=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.
$$

Выражение для угла $\alpha$, который состаляют полуоси эллипса с оригинальными осями $x$ и $y$ было найдено в задаче $3.4.3$. С ним следует ознакомиться (и подумать о том, чтобы переписать то решение для полного соответствия терминов), потому что из него следует для угла $\alpha$ нашей задачи:

$$
\cos^2\alpha=\frac{1}{2}
$$

(при $\cos2\varphi\neq0$, иначе неопределенность угла — последствие превращения эллипса в окружность, эллипс с симметрией бесконечного порядка?).

Откуда

$$
\alpha=\pm\frac{\pi}{4}\pm\frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb Z.
$$

Это — всевозможные углы, которые составляют диагонали квадрата к осями, проведенным по его сторонам.

Найдем полуоси для произвольного $\varphi$ по выражению $(1)$, применяя формулу двойного угла из тригонометрии. Первый случай («верхний» знак):

$$
A\sqrt{1+\cos^2\varphi-\sin^2\varphi}=A\sqrt2\cos\varphi.
$$

Второй случай («нижний» знак):

$$
A\sqrt{1-\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}=A\sqrt2\sin\varphi.
$$

Ответ

При $2\varphi = \pi n$, где $n$ — целое число, на экране виден отрезок; при $2\varphi = \pm\pi/2+2\pi n$ — окружность. Длина полуосей эллипса равна $A\sqrt2\cos\varphi$ и $A\sqrt2\sin\varphi$.