Колебания и волны > Наложение колебаний > Задача 3.4.7

Условие

$3.4.7.$ Отклонение луча осциллографа описывается уравнениями

$$
x=A\cos\left[\left(\omega - \Omega/2\right)t\right],\quad
y=A\cos\left[\left(\omega + \Omega/2\right)t\right],
$$

где $\Omega\ll\omega$, причем след луча на экране гаснет за время, много меньшее $2\pi/\Omega$. Какую картину мы увидим на экране осциллографа?

Решение

Задачу посчитаем обобщением задач $3.4.4$ и $3.4.5$ на случай разности фаз двух колебаний, которая зависит от времени. С учетом произвольности начала отсчета времени перепишем данные колебаний в терминах решения задачи $3.4.5$:

$$
x=A\sin(\omega t),\quad
y=A\sin(\omega t + \Omega t).
$$

Из решения задачи $3.4.3$ стало понятно, что эта система уравнений описывает эллипс, оси которого могут быть под произвольными углами к осям $x$ и $y$, если разность фаз постоянна. В нашей задаче просто используем этот результат, но разность фаз $2\varphi\equiv\Omega t$ будет зависеть от времени.

По результатам решения задачи $3.4.5$ полуоси эллипса для текущей задачи:

$$
A\sqrt2\cos\frac{\Omega}{2} t\quad\text{и}\quad A\sqrt2\sin\frac{\Omega}{2} t.
$$

Итак, вот, что имеем.

• В момент времени $t=0$ на экране отрезок — одна из полуосей равна $0$. Полуоси лежат на диагоналях квадрата (см. решение задачи $3.4.5$).

• Далее эллипс «раздувается» до окружности, а потом предельно «сдувается», вытягиваясь вдоль другой диагонали.

• После соответственно следующего «раздува»-«сдува» приходим к состоянию отвечающему начальному моменту $t=0$. Весь цикл занимает время $2\pi/\Omega$, в чем можно убедиться, рисуя графики изменения полуосей. Далее идет повторение описанного цикла.

Ответ

Отрезок, расположенный по диагонали экрана, превратится в вытянутый по этой диагонали эллипс, полуоси которого постепенно сравняются по длине. Затем появится окружность, которая начнет превращаться в эллипс, вытянутый вдоль другой диагонали экрана, и т. д. Через время $2\pi/\Omega$ весь цикл повторится.