$7.3.6.$ Длина пластин осциллографа $l$, ускоряющее напряжение $V$ . При какой частоте электрического сигнала чувствительность осциллографа уменьшится?
### Решение
Эта задача является обобщением задачи $7.3.4$ на случай переменного напряжения на отклоняющих (управляющих пластинах).
Начнем с вычисления скорости поперечной $v_y$, приобретаемой электроном за все время движения $\tau$ между отклоняющими пластинами.
Из второго закона Ньютона на поперечное направление:
$$
v_y=\int_0^\tau\frac{F(t)}{m}dt,\tag{1}
$$
где $F_0(t)$ есть сила поля пластин, зависящая от времени $t$, $m$ есть масса электрона.
Напряжение на пластинах считаем гармоническим. Оно задается в общем для произвольного электрона с началом отсчета времени $t=0$ в момент его попадания в область между пластинами так:
$$
U(t)=U_0\sin\left(\omega t+\varphi\right),\tag{2}
$$
где $U_0$ есть амплитуда напряжения на пластинах, $\omega$ есть циклическая частота напряжения, $\varphi$ есть начальная фаза напряжения для произвольно выбранного электрона, попадающего в область между пластинами.
С учетом $F=Ee$ (где $E$ есть напряженность поля между пластинами, $e$ есть заряд электрона) и $E=U/d$ (где $d$ есть расстояние между пластинами) можем получить после подстановки $(2)$ в $(1)$ и замены переменной интегрирования следующее
Далее, не усложняя задачу, рассмотрим ситуацию $L\gg$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля).
По результатам решения задачи $7.3.4$ в условиях нашей модели чувствительность $S$ равна
$$
S=\frac{y}{U_\text{отк}},\tag{4}
$$
где $y\approx v_y\frac{L}{v}$ (тут $v$ есть продольная скорость электрона) есть смещение электрона, $U_\text{отк}$ есть напряжение, вызывающее это смещение.
Отклоняющим напряжением $U_\text{отк}$ посчитаем значение напряжения $U(\tau/2)$ между пластинами в момент, когда электрон прошел половину продольного расстояния между пластинами:
В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$
+
Время пролета $\tau=l/v=l/\sqrt{2eV/m}$ фиксировано! В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$
$$
−
+
S_{0}=\frac{Ll}{2Vd}
$$
+
(в формуле $(5)$ обнаруживается первый замечательный предел $\lim_x\to0\frac{\sin x}{x}$).
+
Чувствительность вообще зависит от частоты $\omega$, как видим. Максимальное значение ее $S_0$. Меняется качественно $S(\omega)$ так же, как и функция $\frac{\sin x}{x}$.
+
Если мы увеличиваем частоту от нуля, то пока
+
$$
+
\frac{\omega\tau}{2}\ll1
+
$$
+
мы имеем $S\approx S_0$, а заметные отклонение чувствительности от максимума (или ее уменьшение от электростатического максимума $S_0$) будут уже при
+
$$
+
\frac{\omega\tau}{2}\sim1,
+
$$
+
что дает оценку
+
$$
+
\boxed{\nu\sim\frac1\tau=\frac{\sqrt{2eV/m}}{l}.}
+
$$
+
В издании Савченко 1981 г. формулировка более общая и ответ как оценка.
+
#### Ответ
+
[1] Жигарев А.А. Электронная оптика и электроннолучевые приборы.
+
[2] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.
+
[3] И.В. Яковлев. Физика. МЦНМО. 2021.
−
−
−
−
−
−
−
−
−
#### Ответ
−
[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+
$$
+
\nu\sim\frac1\tau=\frac{\sqrt{2eV/m}}{l}.
+
$$
### Условие
### Условие
$7.3.6.$ Длина пластин осциллографа $l$, ускоряющее напряжение $V$ . При какой частоте электрического сигнала чувствительность осциллографа уменьшится?
$7.3.6.$ Длина пластин осциллографа $l$, ускоряющее напряжение $V$ . При какой частоте электрического сигнала чувствительность осциллографа уменьшится?
### Решение
### Решение
Эта задача является обобщением задачи $7.3.4$ на случай переменного напряжения на отклоняющих (управляющих пластинах).
Эта задача является обобщением задачи $7.3.4$ на случай переменного напряжения на отклоняющих (управляющих пластинах).
Начнем с вычисления скорости поперечной $v_y$, приобретаемой электроном за все время движения $\tau$ между отклоняющими пластинами.
Начнем с вычисления скорости поперечной $v_y$, приобретаемой электроном за все время движения $\tau$ между отклоняющими пластинами.
Из второго закона Ньютона на поперечное направление:
Из второго закона Ньютона на поперечное направление:
$$
$$
v_y=\int_0^\tau\frac{F(t)}{m}dt,\tag{1}
v_y=\int_0^\tau\frac{F(t)}{m}dt,\tag{1}
$$
$$
где $F_0(t)$ есть сила поля пластин, зависящая от времени $t$, $m$ есть масса электрона.
где $F_0(t)$ есть сила поля пластин, зависящая от времени $t$, $m$ есть масса электрона.
Напряжение на пластинах считаем гармоническим. Оно задается в общем для произвольного электрона с началом отсчета времени $t=0$ в момент его попадания в область между пластинами так:
Напряжение на пластинах считаем гармоническим. Оно задается в общем для произвольного электрона с началом отсчета времени $t=0$ в момент его попадания в область между пластинами так:
$$
$$
U(t)=U_0\sin\left(\omega t+\varphi\right),\tag{2}
U(t)=U_0\sin\left(\omega t+\varphi\right),\tag{2}
$$
$$
где $U_0$ есть амплитуда напряжения на пластинах, $\omega$ есть циклическая частота напряжения, $\varphi$ есть начальная фаза напряжения для произвольно выбранного электрона, попадающего в область между пластинами.
где $U_0$ есть амплитуда напряжения на пластинах, $\omega$ есть циклическая частота напряжения, $\varphi$ есть начальная фаза напряжения для произвольно выбранного электрона, попадающего в область между пластинами.
С учетом $F=Ee$ (где $E$ есть напряженность поля между пластинами, $e$ есть заряд электрона) и $E=U/d$ (где $d$ есть расстояние между пластинами) можем получить после подстановки $(2)$ в $(1)$ и замены переменной интегрирования следующее
С учетом $F=Ee$ (где $E$ есть напряженность поля между пластинами, $e$ есть заряд электрона) и $E=U/d$ (где $d$ есть расстояние между пластинами) можем получить после подстановки $(2)$ в $(1)$ и замены переменной интегрирования следующее
Далее, не усложняя задачу, рассмотрим ситуацию $L\gg$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля).
Далее, не усложняя задачу, рассмотрим ситуацию $L\gg$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля).
По результатам решения задачи $7.3.4$ в условиях нашей модели чувствительность $S$ равна
По результатам решения задачи $7.3.4$ в условиях нашей модели чувствительность $S$ равна
$$
$$
S=\frac{y}{U_\text{отк}},\tag{4}
S=\frac{y}{U_\text{отк}},\tag{4}
$$
$$
где $y\approx v_y\frac{L}{v}$ (тут $v$ есть продольная скорость электрона) есть смещение электрона, $U_\text{отк}$ есть напряжение, вызывающее это смещение.
где $y\approx v_y\frac{L}{v}$ (тут $v$ есть продольная скорость электрона) есть смещение электрона, $U_\text{отк}$ есть напряжение, вызывающее это смещение.
Отклоняющим напряжением $U_\text{отк}$ посчитаем значение напряжения $U(\tau/2)$ между пластинами в момент, когда электрон прошел половину продольного расстояния между пластинами:
Отклоняющим напряжением $U_\text{отк}$ посчитаем значение напряжения $U(\tau/2)$ между пластинами в момент, когда электрон прошел половину продольного расстояния между пластинами:
В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$
Время пролета $\tau=l/v=l/\sqrt{2eV/m}$ фиксировано! В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$
$$
$$
S_{0}=\frac{Ll}{2Vd}
$$
$$
(в формуле $(5)$ обнаруживается первый замечательный предел $\lim_x\to0\frac{\sin x}{x}$).
Чувствительность вообще зависит от частоты $\omega$, как видим. Максимальное значение ее $S_0$. Меняется качественно $S(\omega)$ так же, как и функция $\frac{\sin x}{x}$.
Если мы увеличиваем частоту от нуля, то пока
$$
\frac{\omega\tau}{2}\ll1
$$
мы имеем $S\approx S_0$, а заметные отклонение чувствительности от максимума (или ее уменьшение от электростатического максимума $S_0$) будут уже при
$$
\frac{\omega\tau}{2}\sim1,
$$
что дает оценку
$$
\boxed{\nu\sim\frac1\tau=\frac{\sqrt{2eV/m}}{l}.}
$$
В издании Савченко 1981 г. формулировка более общая и ответ как оценка.
#### Ответ
[1] Жигарев А.А. Электронная оптика и электроннолучевые приборы.
[2] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.
