| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.3.6.$ Длина пластин осциллографа $l$, ускоряющее напряжение $V$ . При какой частоте электрического сигнала чувствительность осциллографа уменьшится? | | $7.3.6.$ Длина пластин осциллографа $l$, ускоряющее напряжение $V$ . При какой частоте электрического сигнала чувствительность осциллографа уменьшится? |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Эта задача является обобщением задачи $7.3.4$ на случай переменного напряжения на отклоняющих (управляющих пластинах). | | Эта задача является обобщением задачи $7.3.4$ на случай переменного напряжения на отклоняющих (управляющих пластинах). |
| | | |
| Начнем с вычисления скорости поперечной $v_y$, приобретаемой электроном за все время движения $\tau$ между отклоняющими пластинами. | | Начнем с вычисления скорости поперечной $v_y$, приобретаемой электроном за все время движения $\tau$ между отклоняющими пластинами. |
| | | |
| Из второго закона Ньютона на поперечное направление: | | Из второго закона Ньютона на поперечное направление: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_y=\int_0^\tau\frac{F(t)}{m}dt,\tag{1} | | v_y=\int_0^\tau\frac{F(t)}{m}dt,\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $F_0(t)$ есть сила поля пластин, зависящая от времени $t$, $m$ есть масса электрона. | | где $F_0(t)$ есть сила поля пластин, зависящая от времени $t$, $m$ есть масса электрона. |
| | | |
| Напряжение на пластинах считаем гармоническим. Оно задается в общем для произвольного электрона с началом отсчета времени $t=0$ в момент его попадания в область между пластинами так: | | Напряжение на пластинах считаем гармоническим. Оно задается в общем для произвольного электрона с началом отсчета времени $t=0$ в момент его попадания в область между пластинами так: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U(t)=U_0\sin\left(\omega t+\varphi\right),\tag{2} | | U(t)=U_0\sin\left(\omega t+\varphi\right),\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $U_0$ есть амплитуда напряжения на пластинах, $\omega$ есть циклическая частота напряжения, $\varphi$ есть начальная фаза напряжения для произвольно выбранного электрона, попадающего в область между пластинами. | | где $U_0$ есть амплитуда напряжения на пластинах, $\omega$ есть циклическая частота напряжения, $\varphi$ есть начальная фаза напряжения для произвольно выбранного электрона, попадающего в область между пластинами. |
| | | |
| С учетом $F=Ee$ (где $E$ есть напряженность поля между пластинами, $e$ есть заряд электрона) и $E=U/d$ (где $d$ есть расстояние между пластинами) можем получить после подстановки $(2)$ в $(1)$ и замены переменной интегрирования следующее | | С учетом $F=Ee$ (где $E$ есть напряженность поля между пластинами, $e$ есть заряд электрона) и $E=U/d$ (где $d$ есть расстояние между пластинами) можем получить после подстановки $(2)$ в $(1)$ и замены переменной интегрирования следующее |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\int_0^\tau\sin(\omega t+\varphi)\,d(\omega t+\varphi). | | v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\int_0^\tau\sin(\omega t+\varphi)\,d(\omega t+\varphi). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| После интегрирования: | | После интегрирования: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\big[\cos\varphi-\cos\left(\omega \tau+\varphi\right)\big].\tag{3} | | v_y=\frac{eU_0}{md\omega}\big[\cos\varphi-\cos\left(\omega \tau+\varphi\right)\big].\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| По формуле суммы тригонометрических функций | | По формуле суммы тригонометрических функций |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2} | | \cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| перепишем $(3)$ в теминах синуса | | перепишем $(3)$ в теминах синуса |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_y=\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) | | v_y=\frac{2eU_0}{md\omega}\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}+\varphi\right)\sin\left(\frac{\omega\tau}{2}\right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (позже объясним этот переход). | | (позже объясним этот переход). |
| | | |
| Далее, не усложняя задачу, рассмотрим ситуацию $L\gg l$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля). | | Далее, не усложняя задачу, рассмотрим ситуацию $L\gg l$ (где $L$ есть расстояние от экрана до точки вылета электрона после поперечного поля). |
| | | |
| По результатам решения задачи $7.3.4$ в условиях нашей модели чувствительность $S$ равна | | По результатам решения задачи $7.3.4$ в условиях нашей модели чувствительность $S$ равна |
| | | |
| $$ | | $$ |
| S=\frac{y}{U_\text{отк}},\tag{4} | | S=\frac{y}{U_\text{отк}},\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $y\approx v_y\frac{L}{v}$ (тут $v$ есть продольная скорость электрона) есть смещение электрона, $U_\text{отк}$ есть напряжение, вызывающее это смещение. | | где $y\approx v_y\frac{L}{v}$ (тут $v$ есть продольная скорость электрона) есть смещение электрона, $U_\text{отк}$ есть напряжение, вызывающее это смещение. |
| | | |
| Отклоняющим напряжением $U_\text{отк}$ посчитаем значение напряжения $U(\tau/2)$ между пластинами в момент, когда электрон прошел половину продольного расстояния между пластинами: | | Отклоняющим напряжением $U_\text{отк}$ посчитаем значение напряжения $U(\tau/2)$ между пластинами в момент, когда электрон прошел половину продольного расстояния между пластинами: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_\text{отк}=U_0\sin\left(\omega\frac{\tau}{2}+\varphi\right). | | U_\text{отк}=U_0\sin\left(\omega\frac{\tau}{2}+\varphi\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставляем найденное значение для $v_y$ в $(4)$ и с учетом сказанного про $U_\text{отк}$ и $eV=mv^2/2$ можем получить в такой форме | | Подставляем найденное значение для $v_y$ в $(4)$ и с учетом сказанного про $U_\text{отк}$ и $eV=mv^2/2$ можем получить в такой форме |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{S=\frac{Ll}{2Vd}\frac{\sin\frac{\omega\tau}{2}}{\frac{\omega\tau}{2}}.}\tag{5} | | \boxed{S=\frac{Ll}{2Vd}\frac{\sin\frac{\omega\tau}{2}}{\frac{\omega\tau}{2}}.}\tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Время пролета $\tau=l/v=l/\sqrt{2eV/m}$ фиксировано! В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$ | | Время пролета $\tau=l/v=l/\sqrt{2eV/m}$ фиксировано! В пределе постоянного напряжения $\omega\to0$ приходим к результату задачи $7.3.4$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| S_{0}=\frac{Ll}{2Vd} | | S_{0}=\frac{Ll}{2Vd} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (в формуле $(5)$ обнаруживается первый замечательный предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$). | | (в формуле $(5)$ обнаруживается первый замечательный предел $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$). |
| | | |
| Чувствительность вообще зависит от частоты $\omega$, как видим. Максимальное значение ее $S_0$. Меняется качественно $S(\omega)$ так же, как и функция $\frac{\sin x}{x}$. | | Чувствительность вообще зависит от частоты $\omega$, как видим. Максимальное значение ее $S_0$. Меняется качественно $S(\omega)$ так же, как и функция $\frac{\sin x}{x}$. |
| | | |
| Вот график функции $y=\frac{\sin x}{x}$: | | Вот график функции $y=\frac{\sin x}{x}$: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Если мы увеличиваем частоту от нуля, то пока | | Если мы увеличиваем частоту от нуля, то пока |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{\omega\tau}{2}\ll1 | | \frac{\omega\tau}{2}\ll1 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| мы имеем $S\approx S_0$, а заметные отклонение чувствительности от максимума (или ее уменьшение от электростатического максимума $S_0$) будут уже при | | мы имеем $S\approx S_0$, а заметные отклонение чувствительности от максимума (или ее уменьшение от электростатического максимума $S_0$) будут уже при |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{\omega\tau}{2}\sim1, | | \frac{\omega\tau}{2}\sim1, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что дает оценку | | что дает оценку |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\nu\sim\frac1\tau=\frac{\sqrt{2eV/m}}{l}.} | | \boxed{\nu\sim\frac1\tau=\frac{\sqrt{2eV/m}}{l}.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
