9.2.19∗. а. Внутри большого квадратного контура с током равномерно распределено много квадратных микроконтуров с током. Магнитный момент каждого микроконтура $M_0$. Докажите, что на расстоянии, много большем расстояния между микроконтурами, индукция их магнитного поля совпадает с индукцией магнитного поля большого контура, магнитный момент которого $nM_0$, где $n$ — число микроконтуров внутри большого контура.
б. Тонкая квадратная пластина, размеры которой $a×a×h (h ≪ a)$, намагничена в направлении, перпендикулярном ее плоскости. Индукция магнитного поля в центре пластины $B$. Определите магнитный момент единицы объема вещества пластины.
Решение
К задаче $9.2.19$
а)Пусть в каждом микро контуре течет ток $I = \frac{M_0}{\Delta S}$
Значит на больших расстояниях можно считать, что мы имеем дело с рамкой с таким же током, магнитный момент такой рамки(при условиях размещения контуров как в задаче $9.2.18$):$$M = n \Delta S I = nM_0$$
б)Найдем эквивалентный ток текущий по краям пластины:
$$MhS=IS$$$$I = Mh$$
Теперь представим поле в центре как суперпозицию четырех полей от рамок контура. Поле от одной рамки:
$$dB_1 = \frac{\mu_0 Idlsin\varphi}{4\pi r^2}$$$$dB_1 = \frac{\mu_0 I\frac{a/2d\varphi}{sin^2\varphi} sin\varphi}{4\pi \frac{(a/2)^2}{sin^2\varphi}}=\frac{\mu_0 Isin\varphi d\varphi}{4\pi a/2}$$$$B_1 = 2\int_{0}^{\pi/4}\frac{\mu_0 Isin\varphi d\varphi}{4\pi a/2}$$$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi a/2}\cdot 2 cos(\pi/4)$$
От всех 4:
$$B = 4B_1 = \frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{\pi a}$$
Подставим выражение для тока и получим ответ:
$$M = \frac{B\pi a}{\sqrt{8}\mu_0 h}$$
