Постоянное магнитное поле > Магнитное поле движущегося заряда. Индукция магнитного поля линейного тока > Задача 9.2.19

Условие

$9.2.19.$ а. Внутри большого квадратного контура с током равномерно распределено много квадратных микроконтуров с током. Магнитный момент каждого микроконтура $M_0$. Докажите, что на расстоянии, много большем расстояния между микроконтурами, индукция их магнитного поля совпадает с индукцией магнитного поля большого контура, магнитный момент которого $nM_0$, где $n$ — число микроконтуров внутри большого контура.

б. Тонкая квадратная пластина, размеры которой $a×a×h (h ≪ a)$, намагничена в направлении, перпендикулярном ее плоскости. Индукция магнитного поля
в центре пластины $B$. Определите магнитный момент единицы объема вещества пластины.

Решение

а)Пусть в каждом микро контуре течет ток $I = \frac{M_0}{\Delta S}$ Значит на больших расстояниях можно считать, что мы имеем дело с рамкой с таким же током, магнитный момент такой рамки(при условиях размещения контуров как в задаче $9.2.18$): $$M = n \Delta S I = nM_0$$ б)Найдем эквивалентный ток текущий по краям пластины: $$MhS=IS$$ $$I = Mh$$ Теперь представим поле в центре как суперпозицию четырех полей от рамок контура. Поле от одной рамки: $$dB_1 = \frac{\mu_0 Idlsin\varphi}{4\pi r^2}$$ $$dB_1 = \frac{\mu_0 I\frac{a/2d\varphi}{sin^2\varphi} sin\varphi}{4\pi \frac{(a/2)^2}{sin^2\varphi}}=\frac{\mu_0 Isin\varphi d\varphi}{4\pi a/2}$$ $$B_1 = 2\int_{0}^{\pi/4}\frac{\mu_0 Isin\varphi d\varphi}{4\pi a/2}$$ $$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi a/2}\cdot 2 cos(\pi/4)$$ От всех 4: $$B = 4B_1 = \frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{\pi a}$$ Подставим выражение для тока и получим ответ: $$M = \frac{B\pi a}{\sqrt{8}\mu_0 h}$$

Ответ

а)ч.т.д.

б)$$M = \frac{B\pi a}{\sqrt{8}\mu_0 h}$$