Edits to “Решение”, “Литература”
ru/11.4.23.md
+3 −1
| ### Условие | |||
| $11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов. | |||
| ### Решение | |||
| Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1] | |||
| $$ | |||
| iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0, | |||
| $$ | |||
| где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени), | |||
| продифференцировать по $t$, то можно получить диффур | |||
| $$ | |||
| \frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0, | |||
| $$ | |||
| где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы. | |||
| Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение: | |||
| $$ | |||
| i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1} | |||
| $$ | |||
| где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$. | |||
| Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее). | |||
|  | |||
| Пусть в момент $t=0$ амплитуда из $(1)$ равна | |||
| $$ | |||
| A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a, | |||
| $$ | |||
| а в момент $t=\tau$ амплитуда равна | |||
| $$ | |||
| A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}. | |||
| $$ | |||
| @@ -48,7 +48,7 @@Решение | |||
| Тогда по задаче | |||
| $$ | |||
| − | \frac{A_1}{A_2}=e^{ | ||
| + | \frac{A_1}{A_2}=e^{\tfrac{R}{2L}\tau}=2. | ||
| $$ | |||
| Откуда | |||
| $$ | |||
| R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. | |||
| $$ | |||
| Ответ не зависит от емкости $C$. | |||
| #### Литература | |||
| @@ -65,6 +65,8 @@Литература | |||
| [1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны». | |||
| [2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm. | |||
| + | |||
| + | [3] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003. | ||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 4 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов. | $11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1] | Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1] | ||
| $$ | $$ | ||
| iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0, | iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени), | где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени), | ||
| продифференцировать по $t$, то можно получить диффур | продифференцировать по $t$, то можно получить диффур | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0, | \frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы. | где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы. | ||
| Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение: | Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение: | ||
| $$ | $$ | ||
| i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1} | i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$. | где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$. | ||
| Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее). | Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее). | ||
|  |  | ||
| Пусть в момент $t=0$ амплитуда из $(1)$ равна | Пусть в момент $t=0$ амплитуда из $(1)$ равна | ||
| $$ | $$ | ||
| A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a, | A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a, | ||
| $$ | $$ | ||
| а в момент $t=\tau$ амплитуда равна | а в момент $t=\tau$ амплитуда равна | ||
| $$ | $$ | ||
| A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}. | A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}. | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -48,7 +48,7 @@Решение | |||
| Тогда по задаче | Тогда по задаче | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{A_1}{A_2}=e^{ |
\frac{A_1}{A_2}=e^{\tfrac{R}{2L}\tau}=2. | ||
| $$ | $$ | ||
| Откуда | Откуда | ||
| $$ | $$ | ||
| R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. | R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Ответ не зависит от емкости $C$. | Ответ не зависит от емкости $C$. | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| @@ -65,6 +65,8 @@Литература | |||
| [1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны». | [1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны». | ||
| [2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm. | [2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm. | ||
| [3] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. | R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 4 | |||