Edits to “Решение”, “Литература”, “Ответ”

igor edited
View solution History
revision #18810 parent #18808 ← older newer →
ru/11.4.23.md +29 −14
@@ -5,55 +5,70 @@Условие
### Решение
−из второго правила Кирхгофа для цепи $RLC$
+Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]
$$
−iR+L\frac{di}{dt}+U_C=0,
+iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
$$
−где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $U_C$ зависят от времени),
+где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),
−можно получить диффур [1]
+продифференцировать по $t$, то можно получить диффур
$$
−\frac{d^2q}{dt^2}+2\gamma\frac{dq}{dt}+\omega_0^2q=0,
+\frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0,
$$
−где $q$ есть заряд конденсатора, $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.
+где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.
Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:
$$
−q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1}
+i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1}
$$
где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.
−Итак, в нашей задаче и заряд и ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).
+Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).
![|965x837, 100%](../../img/11.4.23/11.4.23.png)
−Продифференцируем $(1)$ и получим зависимость тока от времени
+Пусть в момент $t=0$ амплитуда из $(1)$ равна
$$
−i=
+A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a,
$$
−Продолжение следует...
+а в момент $t=\tau$ амплитуда равна
+$$
+A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}.
+$$
+Тогда по задаче
+$$
+\frac{A_1}{A_2}=e^{-\tfrac{R}{2L}\tau}=2.
+$$
+Откуда
+$$
+R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.
+$$
+Ответ не зависит от емкости $C$.
+#### Литература
+[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».
+[2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.
−
−
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.
+$$