$11.5.20.$ Двухканальный магнитный перераспределитель энергии снарядов имеет следующую конструкцию. Две металлические трубы с прорезью соединены металлическими перемычками так, как изображено на рисунке. Однородное магнитное поле индукции $B$ направлено вдоль оси труб. Вдоль оси каждой трубы движутся одинаковые длинные сверхпроводящие снаряды. Один из снарядов, имеющий скорость $3v$, догоняет второй снаряд, имеющий скорость $v$. Длина каж дого снаряда $l$, сечение $s$, масса $m$. Сечение каждой трубы $S$. Определите скорость снарядов после их взаимодействия. Сопротивлением трубы пренебречь.
Качественно рассмотрим картину. Для этого удобно перейти в систему центра масс, ведь в ней снаряды движутся навстречу друг другу каждый со скоростью $\upsilon$.
−
К сечении каждого снаряда в обоих трубах индукция имеет другое значение которое определяется законом сохранения магнитного потока:
+
В свободной от снарядов части трубы энергия на единицу длины равна:
+
$$\omega_0 = \frac{B^2 S}{\mu_0}$$
+
+
В сечении каждого снаряда в обоих трубах индукция имеет другое значение которое определяется законом сохранения магнитного потока:
+
$$B_1 = \frac{2BS}{2S - s}$$
−
При этом энергия магнитного поля в двух сечениях трубок равна:
+
Отсюда энергия на единицу длины в сечении с одним снарядом:
Если первый снаряд может поравняться со вторым, далее их расталкивают магнитные силы, так что мы хотим рассмотреть граничный случай когда вся суммарная энергия в системе центра масс перешла в изменение энергии магнитного поля и снаряды поравнялись, значит граничная энергия магнитного поля:
+
Ну и наконец если в сечении два снаряда индукция равна:
−
$$E_2 = \frac{B^2lS^2}{\mu_0 (S - s)}$$
+
$$B_2 = \frac{BS}{S-s}$$
−
Находим разность $E_2$ и $E_1$ и получаем искомые решения:
+
Энергия на единицу длины:
−
При $$m \upsilon^2 <\frac{B^2 l S^2(3s - 2S)}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
+
$$\omega_2 =\frac{B^2 S^2}{\mu_0 (S - s)}$$
+
Пока снаряды идут без пересечений, энергия равна:
+
+
$$U_1 = 2\omega_1l + \omega_0L$$
+
+
Когда снаряды немного перекрывают друг друга на величину x, энергия равна:
$$\Delta U = -2\omega_1 x + \omega_2 x + \omega_0 x$$
+
+
Подставим $x=l$ и найдем:
+
+
$$\Delta U = \frac{B^2 S s^2 l}{\mu_0 (2S - s)(S-s)}$$
+
+
Если в этой системе скорости хватает чтобы дойти менее чем до полного перекрытия, то у нас аналог абсолютно упругого удара, если нет,то скорости остаются прежними:
+
+
При $$m \upsilon^2 < \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
+
$${\upsilon_1}' = \upsilon$$
$${\upsilon_2}' = 3\upsilon$$
−
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S^2(3s - 2S)}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
+
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = 3 \upsilon$$
−
$${\upsilon_2}' =\upsilon$$
+
$${\upsilon_2}' =\upsilon$$
−
Не знаю почему не сходится с ответом в Савченко, я думаю опечатка, если видите недочет в решении прошу написать мне
−
#### Ответ
−
При $$m \upsilon^2 < \frac{B^2 l S^2(3s - 2S)}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
+
При $$m \upsilon^2 < \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = \upsilon$$
$${\upsilon_2}' = 3\upsilon$$
−
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S^2(3s - 2S)}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
+
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = 3 \upsilon$$
$${\upsilon_2}' = \upsilon$$
### Условие
### Условие
$11.5.20.$ Двухканальный магнитный перераспределитель энергии снарядов имеет следующую конструкцию. Две металлические трубы с прорезью соединены металлическими перемычками так, как изображено на рисунке. Однородное магнитное поле индукции $B$ направлено вдоль оси труб. Вдоль оси каждой трубы движутся одинаковые длинные сверхпроводящие снаряды. Один из снарядов, имеющий скорость $3v$, догоняет второй снаряд, имеющий скорость $v$. Длина каж дого снаряда $l$, сечение $s$, масса $m$. Сечение каждой трубы $S$. Определите скорость снарядов после их взаимодействия. Сопротивлением трубы пренебречь.
$11.5.20.$ Двухканальный магнитный перераспределитель энергии снарядов имеет следующую конструкцию. Две металлические трубы с прорезью соединены металлическими перемычками так, как изображено на рисунке. Однородное магнитное поле индукции $B$ направлено вдоль оси труб. Вдоль оси каждой трубы движутся одинаковые длинные сверхпроводящие снаряды. Один из снарядов, имеющий скорость $3v$, догоняет второй снаряд, имеющий скорость $v$. Длина каж дого снаряда $l$, сечение $s$, масса $m$. Сечение каждой трубы $S$. Определите скорость снарядов после их взаимодействия. Сопротивлением трубы пренебречь.
Качественно рассмотрим картину. Для этого удобно перейти в систему центра масс, ведь в ней снаряды движутся навстречу друг другу каждый со скоростью $\upsilon$.
Качественно рассмотрим картину. Для этого удобно перейти в систему центра масс, ведь в ней снаряды движутся навстречу друг другу каждый со скоростью $\upsilon$.
К сечении каждого снаряда в обоих трубах индукция имеет другое значение которое определяется законом сохранения магнитного потока:
В свободной от снарядов части трубы энергия на единицу длины равна:
$$\omega_0 = \frac{B^2 S}{\mu_0}$$
В сечении каждого снаряда в обоих трубах индукция имеет другое значение которое определяется законом сохранения магнитного потока:
$$B_1 = \frac{2BS}{2S - s}$$
$$B_1 = \frac{2BS}{2S - s}$$
При этом энергия магнитного поля в двух сечениях трубок равна:
Отсюда энергия на единицу длины в сечении с одним снарядом:
Если первый снаряд может поравняться со вторым, далее их расталкивают магнитные силы, так что мы хотим рассмотреть граничный случай когда вся суммарная энергия в системе центра масс перешла в изменение энергии магнитного поля и снаряды поравнялись, значит граничная энергия магнитного поля:
Ну и наконец если в сечении два снаряда индукция равна:
$$E_2 = \frac{B^2lS^2}{\mu_0 (S - s)}$$
$$B_2 = \frac{BS}{S-s}$$
Находим разность $E_2$ и $E_1$ и получаем искомые решения:
Энергия на единицу длины:
При $$m \upsilon^2 <\frac{B^2 l S^2(3s - 2S)}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$$\omega_2 =\frac{B^2 S^2}{\mu_0 (S - s)}$$
Пока снаряды идут без пересечений, энергия равна:
$$U_1 = 2\omega_1l + \omega_0L$$
Когда снаряды немного перекрывают друг друга на величину x, энергия равна:
$$\Delta U = -2\omega_1 x + \omega_2 x + \omega_0 x$$
Подставим $x=l$ и найдем:
$$\Delta U = \frac{B^2 S s^2 l}{\mu_0 (2S - s)(S-s)}$$
Если в этой системе скорости хватает чтобы дойти менее чем до полного перекрытия, то у нас аналог абсолютно упругого удара, если нет,то скорости остаются прежними:
При $$m \upsilon^2 < \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = \upsilon$$
$${\upsilon_1}' = \upsilon$$
$${\upsilon_2}' = 3\upsilon$$
$${\upsilon_2}' = 3\upsilon$$
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S^2(3s - 2S)}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = 3 \upsilon$$
$${\upsilon_1}' = 3 \upsilon$$
$${\upsilon_2}' =\upsilon$$
$${\upsilon_2}' =\upsilon$$
Не знаю почему не сходится с ответом в Савченко, я думаю опечатка, если видите недочет в решении прошу написать мне
#### Ответ
#### Ответ
При $$m \upsilon^2 < \frac{B^2 l S^2(3s - 2S)}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
При $$m \upsilon^2 < \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
$${\upsilon_1}' = \upsilon$$
$${\upsilon_1}' = \upsilon$$
$${\upsilon_2}' = 3\upsilon$$
$${\upsilon_2}' = 3\upsilon$$
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S^2(3s - 2S)}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
При $$m \upsilon^2 > \frac{B^2 l S s^2}{\mu_0 (S - s)(2S - s)}$$
